69
правок
Изменения
м
Нет описания правки
Пусть <tex> T </tex> - дерево обхода в глубину графа <tex> G</tex>. Ребро <tex> (u, v) </tex> является мостом тогда и только тогда, когда <tex> (u, v) \in T</tex> и из вершины <tex> v</tex> и любого ее потомка нет обратного ребра в вершину <tex> u</tex> или предка <tex> u </tex>
|proof=
<tex> \Leftarrow</tex> <br>Удалим <tex> (u, v)</tex> из <tex> G</tex> Докажем, что мы не сможем достичь ни одного из предков <tex> v </tex>(в частности <tex> u </tex>). Пусть это не так, и <tex> w</tex> - предпоследняя вершина на пути от <tex> v</tex> до ее предка <tex>x </tex>. Очевидно, <tex> (w, x)</tex> не ребро дерева (в силу единственности пути в дереве). Если <tex> (w, x)</tex> - обратное ребро, то это противоречит условию теоремы, т.к. <tex> x</tex> - предок <tex> u</tex><br><tex> \Rightarrow</tex> <br>Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первое.Пусть существует удовлетворяющее условию обратное ребро <tex>(x, w)</tex>. Тогда <tex>(u, v)</tex> лежит на цикле <tex>x \rightsquigarrow v \rightarrow u \rightsquigarrow w \rightarrow x</tex> и не может быть ребром.
}}
