Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Алгоритм)
Строка 5: Строка 5:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>T</tex> - дерево [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]], <tex>root</tex> - корень <tex>T</tex>. Вершина <tex>u \ne root</tex> - точка сочленения <tex>\Leftrightarrow \exists v \in T</tex> - сын <tex>u</tex> : из <tex>v</tex> или любого потомка вершины <tex>v</tex> нет обратного ребра в предка вершины <tex>u</tex>. <tex>root</tex> - точка сочленения <tex>\Leftrightarrow root</tex> имеет хотя бы двух сыновей в дереве поиска в глубину.
+
Пусть <tex>T</tex> дерево [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]], <tex>root</tex> корень <tex>T</tex>. Вершина <tex>u \ne root</tex> точка сочленения <tex>\Leftrightarrow \exists v \in T</tex> сын <tex>u</tex> : из <tex>v</tex> или любого потомка вершины <tex>v</tex> нет обратного ребра в предка вершины <tex>u</tex>. <tex>root</tex> точка сочленения <tex>\Leftrightarrow root</tex> имеет хотя бы двух сыновей в дереве поиска в глубину.
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>\Leftarrow</tex>
 
<tex>\Leftarrow</tex>
  
#Удалим <tex>u</tex> из <tex>G</tex>. Докажем, что не существует пути из <tex>v</tex> в любого предка вершины <tex>u</tex>. Пусть это не так. Тогда <tex>\exists x \in T</tex> - предок <tex>u</tex> : <tex>\exists</tex> путь из <tex>v</tex> в <tex>x</tex> в <tex>G \backslash u</tex>. Пусть <tex>w</tex> - предпоследняя вершина на этом пути, <tex>w</tex> - потомок <tex>v</tex>. <tex>(w, x)</tex> - не ребро дерева <tex>T</tex>(в силу единственности пути в дереве) <tex>\Rightarrow (w, x)</tex> - обратное ребро, что противоречит условию.
+
#Удалим <tex>u</tex> из <tex>G</tex>. Докажем, что не существует пути из <tex>v</tex> в любого предка вершины <tex>u</tex>. Пусть это не так. Тогда <tex>\exists x \in T</tex> предок <tex>u</tex> : <tex>\exists</tex> путь из <tex>v</tex> в <tex>x</tex> в <tex>G \backslash u</tex>. Пусть <tex>w</tex> предпоследняя вершина на этом пути, <tex>w</tex> потомок <tex>v</tex>. <tex>(w, x)</tex> не ребро дерева <tex>T</tex>(в силу единственности пути в дереве) <tex>\Rightarrow (w, x)</tex> обратное ребро, что противоречит условию.
#Пусть у <tex>root</tex> хотя бы два сына. Тогда при удалении <tex>root</tex> не существует пути между его поддеревьями, так как не существует перекрестных ребер <tex>\Rightarrow root</tex> - точка сочленения.
+
#Пусть у <tex>root</tex> хотя бы два сына. Тогда при удалении <tex>root</tex> не существует пути между его поддеревьями, так как не существует перекрестных ребер <tex>\Rightarrow root</tex> точка сочленения.
 
<tex>\Rightarrow</tex>
 
<tex>\Rightarrow</tex>
#Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первого. Обозначим через <tex>G'</tex> граф, состоящий из вершин, не являющихся потомками <tex>u</tex>. Удалим вершину <tex>u</tex>. Очевидно, что граф <tex>G'</tex> и все поддеревья вершины <tex>u</tex> останутся связными, кроме того из каждого поддерева есть ребро в <tex>G' \Rightarrow G \backslash u</tex> - связный <tex>\Rightarrow u</tex> - не точка сочленения.
+
#Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первого. Обозначим через <tex>G'</tex> граф, состоящий из вершин, не являющихся потомками <tex>u</tex>. Удалим вершину <tex>u</tex>. Очевидно, что граф <tex>G'</tex> и все поддеревья вершины <tex>u</tex> останутся связными, кроме того из каждого поддерева есть ребро в <tex>G' \Rightarrow G \backslash u</tex> связный <tex>\Rightarrow u</tex> не точка сочленения.
#Пусть <tex>root</tex> - точка сочленения и у него есть только один сын. Тогда при удалении <tex>root</tex> остается дерево с корнем в его сыне, содержащее все остальные вершины графа, то есть оставшийся граф связен - противоречие с тем, что <tex>root</tex> - точка сочленения.
+
#Пусть <tex>root</tex> точка сочленения и у него есть только один сын. Тогда при удалении <tex>root</tex> остается дерево с корнем в его сыне, содержащее все остальные вершины графа, то есть оставшийся граф связен противоречие с тем, что <tex>root</tex> точка сочленения.
 
}}
 
}}
  
Пусть <tex>tin[u]</tex> - время входа поиска в глубину в вершину <tex>u</tex>. Через <tex>up[u]</tex> обозначим минимум из времени захода в саму вершину <tex>tin[u]</tex>, времен захода в каждую из вершин <tex>p</tex>, являющуюся концом некоторого обратного ребра <tex>(u,p)</tex>, а также из всех значений <tex>up[v]</tex> для каждой вершины <tex>v</tex>, являющейся непосредственным сыном <tex>u</tex> в дереве поиска.
+
Пусть <tex>tin[u]</tex> время входа поиска в глубину в вершину <tex>u</tex>. Через <tex>up[u]</tex> обозначим минимум из времени захода в саму вершину <tex>tin[u]</tex>, времен захода в каждую из вершин <tex>p</tex>, являющуюся концом некоторого обратного ребра <tex>(u,p)</tex>, а также из всех значений <tex>up[v]</tex> для каждой вершины <tex>v</tex>, являющейся непосредственным сыном <tex>u</tex> в дереве поиска.
  
 
Тогда из вершины <tex>u</tex> или её потомка есть обратное ребро в её предка <tex>\Leftrightarrow \exists</tex> такой сын <tex>v</tex>, что <tex>up[v] < tin[u]</tex>.
 
Тогда из вершины <tex>u</tex> или её потомка есть обратное ребро в её предка <tex>\Leftrightarrow \exists</tex> такой сын <tex>v</tex>, что <tex>up[v] < tin[u]</tex>.
Строка 31: Строка 31:
 
         if (<tex>v</tex> родитель <tex>u</tex>)
 
         if (<tex>v</tex> родитель <tex>u</tex>)
 
             Переходим к следующей итерации цикла
 
             Переходим к следующей итерации цикла
         if (<tex>v</tex> посещено)                        //v - предок вершины u, uv - обратное ребро
+
         if (<tex>v</tex> посещено)                        //<tex>v</tex> — предок вершины <tex>u</tex>, <tex>uv</tex> — обратное ребро
 
             <tex>up[u] \leftarrow min(up[u], tin[v])</tex>
 
             <tex>up[u] \leftarrow min(up[u], tin[v])</tex>
         else                               //v - ребенок вершины u
+
         else                                   //<tex>v</tex> — ребенок вершины <tex>u</tex>
 
             <tex>count</tex>++
 
             <tex>count</tex>++
 
             dfs(<tex>v, u</tex>)
 
             dfs(<tex>v, u</tex>)
Строка 49: Строка 49:
 
             dfs(<tex>root</tex>, -1);
 
             dfs(<tex>root</tex>, -1);
 
<br>
 
<br>
Время работы алгоритма совпадает с временем работы <tex> dfs </tex>, а именно <tex> O(V + E) </tex>.
+
Время работы алгоритма совпадает с [[Обход в глубину, цвета вершин#Время работы|временем работы]] <tex> dfs </tex>.
  
 
= Источники =
 
= Источники =
 
Асанов М., Баранский В., Расин В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 стр.
 
Асанов М., Баранский В., Расин В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 стр.

Версия 10:54, 11 декабря 2011

Алгоритм

Дан связный неориентированный граф. Требуется найти все точки сочленения в нем.

Теорема:
Пусть [math]T[/math] — дерево обхода в глубину, [math]root[/math] — корень [math]T[/math]. Вершина [math]u \ne root[/math] — точка сочленения [math]\Leftrightarrow \exists v \in T[/math] — сын [math]u[/math] : из [math]v[/math] или любого потомка вершины [math]v[/math] нет обратного ребра в предка вершины [math]u[/math]. [math]root[/math] — точка сочленения [math]\Leftrightarrow root[/math] имеет хотя бы двух сыновей в дереве поиска в глубину.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Leftarrow[/math]

  1. Удалим [math]u[/math] из [math]G[/math]. Докажем, что не существует пути из [math]v[/math] в любого предка вершины [math]u[/math]. Пусть это не так. Тогда [math]\exists x \in T[/math] — предок [math]u[/math] : [math]\exists[/math] путь из [math]v[/math] в [math]x[/math] в [math]G \backslash u[/math]. Пусть [math]w[/math] — предпоследняя вершина на этом пути, [math]w[/math] — потомок [math]v[/math]. [math](w, x)[/math] — не ребро дерева [math]T[/math](в силу единственности пути в дереве) [math]\Rightarrow (w, x)[/math] — обратное ребро, что противоречит условию.
  2. Пусть у [math]root[/math] хотя бы два сына. Тогда при удалении [math]root[/math] не существует пути между его поддеревьями, так как не существует перекрестных ребер [math]\Rightarrow root[/math] — точка сочленения.

[math]\Rightarrow[/math]

  1. Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первого. Обозначим через [math]G'[/math] граф, состоящий из вершин, не являющихся потомками [math]u[/math]. Удалим вершину [math]u[/math]. Очевидно, что граф [math]G'[/math] и все поддеревья вершины [math]u[/math] останутся связными, кроме того из каждого поддерева есть ребро в [math]G' \Rightarrow G \backslash u[/math] — связный [math]\Rightarrow u[/math] — не точка сочленения.
  2. Пусть [math]root[/math] — точка сочленения и у него есть только один сын. Тогда при удалении [math]root[/math] остается дерево с корнем в его сыне, содержащее все остальные вершины графа, то есть оставшийся граф связен — противоречие с тем, что [math]root[/math] — точка сочленения.
[math]\triangleleft[/math]

Пусть [math]tin[u][/math] — время входа поиска в глубину в вершину [math]u[/math]. Через [math]up[u][/math] обозначим минимум из времени захода в саму вершину [math]tin[u][/math], времен захода в каждую из вершин [math]p[/math], являющуюся концом некоторого обратного ребра [math](u,p)[/math], а также из всех значений [math]up[v][/math] для каждой вершины [math]v[/math], являющейся непосредственным сыном [math]u[/math] в дереве поиска.

Тогда из вершины [math]u[/math] или её потомка есть обратное ребро в её предка [math]\Leftrightarrow \exists[/math] такой сын [math]v[/math], что [math]up[v] \lt tin[u][/math].

Таким образом, если для текущей вершины [math]v \ne root [/math] существует непосредственный сын [math]v[/math]: [math]up[v] \ge tin[u][/math], то вершина [math]u[/math] является точкой сочленения, в противном случае она точкой сочленения не является.

Реализация

dfs([math]u[/math], [math]prev[/math])
    Помечаем вершину [math]u[/math], как посещенную
    [math]tin[u] \leftarrow up[u] \leftarrow time[/math]++                       
    [math]count \leftarrow[/math] 0
    for ([math]v[/math] : [math]uv[/math] из [math]E[/math])
        if ([math]v[/math] родитель [math]u[/math])
            Переходим к следующей итерации цикла
        if ([math]v[/math] посещено)                        //[math]v[/math] — предок вершины [math]u[/math], [math]uv[/math] — обратное ребро
            [math]up[u] \leftarrow min(up[u], tin[v])[/math]
        else                                   //[math]v[/math] — ребенок вершины [math]u[/math]
            [math]count[/math]++
            dfs([math]v, u[/math])
            [math]up[u] \leftarrow min(up[u], up[v])[/math]
            if ([math]up[v][/math] >= [math]tin[u][/math])
                [math]answer[u] \leftarrow true[/math]           
    if ([math]u[/math] корень)
        [math]answer[u] \leftarrow (count \gt  1)[/math]

main()
    ...
    for ([math]root[/math] из [math]V[/math])
        if ([math]root[/math] не посещен)
            [math]time \leftarrow 0[/math]
            dfs([math]root[/math], -1);


Время работы алгоритма совпадает с временем работы [math] dfs [/math].

Источники

Асанов М., Баранский В., Расин В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 стр.