Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Реализация)
Строка 1: Строка 1:
Дан [[Отношение связности, компоненты связности|связный]] [[Основные определения теории графов|неориентированный граф]] <tex> G </tex>. Найти все [[Точка сочленения, эквивалентные определения|точки сочленения]] в <tex> G </tex> за время <tex> O(|V| + |E|)</tex>
+
{{Задача
 +
|definition=Дан [[Отношение связности, компоненты связности|связный]] [[Основные определения теории графов|неориентированный граф]] <tex> G </tex>. Найти все [[Точка сочленения, эквивалентные определения|точки сочленения]] в <tex> G </tex> за время <tex> O(|V| + |E|)</tex>
 +
}}
  
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
Строка 19: Строка 21:
  
  
[[Файл:Joint_point_2_rsz.png‎|280px|thumb|left|Красным цветом обозначены точки сочленения<br>Синим — ребра по которым идет DFS]]
+
[[Файл:Joint_point_2_rsz.png‎|280px|thumb|left| <font color=red>Красным</font> цветом обозначены точки сочленения<br><font color=blue>Синим</font> — ребра по которым идет DFS]]
 
Пусть <tex>tin[u]</tex> — время входа поиска в глубину в вершину <tex>u</tex>. Через <tex>up[u]</tex> обозначим минимум из времени захода в саму вершину <tex>tin[u]</tex>, времен захода в каждую из вершин <tex>p</tex>, являющуюся концом некоторого обратного ребра <tex>(u,p)</tex>, а также из всех значений <tex>up[v]</tex> для каждой вершины <tex>v</tex>, являющейся непосредственным сыном <tex>u</tex> в дереве поиска.
 
Пусть <tex>tin[u]</tex> — время входа поиска в глубину в вершину <tex>u</tex>. Через <tex>up[u]</tex> обозначим минимум из времени захода в саму вершину <tex>tin[u]</tex>, времен захода в каждую из вершин <tex>p</tex>, являющуюся концом некоторого обратного ребра <tex>(u,p)</tex>, а также из всех значений <tex>up[v]</tex> для каждой вершины <tex>v</tex>, являющейся непосредственным сыном <tex>u</tex> в дереве поиска.
  
Тогда из вершины <tex>u</tex> или её потомка есть обратное ребро в её предка <tex>\Leftrightarrow \exists</tex> такой сын <tex>v</tex>, что <tex>up[v] < tin[u]</tex>.
+
Тогда из вершины <tex>u</tex> или её потомка есть обратное ребро в её предка <tex>\Leftrightarrow \exists</tex> такой сын <tex>v</tex>, что <tex>up[v] \geqslant tin[u]</tex>.
  
Таким образом, если для текущей вершины <tex>v \ne root </tex> существует непосредственный сын <tex>v</tex>: <tex>up[v] \ge tin[u]</tex>, то вершина <tex>u</tex> является точкой сочленения, в противном случае она точкой сочленения не является.
+
Таким образом, если для текущей вершины <tex>v \ne root </tex> существует непосредственный сын <tex>v</tex>: <tex>up[v] \geqslant tin[u]</tex>, то вершина <tex>u</tex> является точкой сочленения, в противном случае она точкой сочленения не является.
  
 
<br clear="all">
 
<br clear="all">
Строка 39: Строка 41:
 
       '''for''' u: (v, u) '''in''' G   
 
       '''for''' u: (v, u) '''in''' G   
 
           '''if''' u == p
 
           '''if''' u == p
             continue
+
             '''continue'''
           '''if''' visited[u] == ''true''
+
           '''if''' visited[u]
 
             up[v] = min(up[v], tin[u])
 
             up[v] = min(up[v], tin[u])
 
           '''else'''
 
           '''else'''
 
             dfs(u, v)  
 
             dfs(u, v)  
 
             up[v] = min(up[v], tin[u])
 
             up[v] = min(up[v], tin[u])
             '''if''' up[to] >= tin[v] && p != -1 <font color=darkgreen>//если граф состоит из 2 вершин и одного ребра, то p != -1 спасёт, иначе выведет 1 точку сочленения </font>
+
             '''if''' up[to] >= tin[v] '''&&''' p != -1 <font color=darkgreen>// если граф состоит из 2 вершин и одного ребра, то p != -1 спасёт, иначе выведет 1 точку сочленения </font>
 
                   v — cutpoint  
 
                   v — cutpoint  
       '''if''' v root
+
       '''if''' v '''is''' root
 
             v — cutpoint  
 
             v — cutpoint  
 
                        
 
                        
 
     '''for''' i = 1 '''to''' n             
 
     '''for''' i = 1 '''to''' n             
       '''if''' visited[i] == ''false''               
+
       '''if''' '''not''' visited[i]            
 
           dfs(i, -1)
 
           dfs(i, -1)
  

Версия 22:33, 8 января 2017

Задача:
Дан связный неориентированный граф [math] G [/math]. Найти все точки сочленения в [math] G [/math] за время [math] O(|V| + |E|)[/math]


Алгоритм

Теорема:
Пусть [math]T[/math] — дерево обхода в глубину, [math]root[/math] — корень [math]T[/math]. Вершина [math]u \ne root[/math] — точка сочленения [math]\Leftrightarrow \exists v \in T[/math] — сын [math]u[/math] : из [math]v[/math] или любого потомка вершины [math]v[/math] нет обратного ребра в предка вершины [math]u[/math]. [math]root[/math] — точка сочленения [math]\Leftrightarrow root[/math] имеет хотя бы двух сыновей в дереве поиска в глубину.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рисунок к [math]\Leftarrow[/math]

[math]\Leftarrow[/math]

  1. Удалим [math]u[/math] из [math]G[/math]. Докажем, что не существует пути из [math]v[/math] в любого предка вершины [math]u[/math]. Пусть это не так. Тогда [math]\exists x \in T[/math] — предок [math]u[/math] : [math]\exists[/math] путь из [math]v[/math] в [math]x[/math] в [math]G \backslash u[/math]. Пусть [math]w[/math] — предпоследняя вершина на этом пути, [math]w[/math] — потомок [math]v[/math]. [math](w, x)[/math] — не ребро дерева [math]T[/math](в силу единственности пути в дереве) [math]\Rightarrow (w, x)[/math] — обратное ребро, что противоречит условию.
  2. Пусть у [math]root[/math] хотя бы два сына. Тогда при удалении [math]root[/math] не существует пути между его поддеревьями, так как не существует перекрестных ребер [math]\Rightarrow root[/math] — точка сочленения.

[math]\Rightarrow[/math]

  1. Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первого. Обозначим через [math]G'[/math] граф, состоящий из вершин, не являющихся потомками [math]u[/math]. Удалим вершину [math]u[/math]. Очевидно, что граф [math]G'[/math] и все поддеревья вершины [math]u[/math] останутся связными, кроме того из каждого поддерева есть ребро в [math]G' \Rightarrow G \backslash u[/math] — связный [math]\Rightarrow u[/math] — не точка сочленения.
  2. Пусть [math]root[/math] — точка сочленения и у него есть только один сын. Тогда при удалении [math]root[/math] остается дерево с корнем в его сыне, содержащее все остальные вершины графа, то есть оставшийся граф связен — противоречие с тем, что [math]root[/math] — точка сочленения.
[math]\triangleleft[/math]


Красным цветом обозначены точки сочленения
Синим — ребра по которым идет DFS

Пусть [math]tin[u][/math] — время входа поиска в глубину в вершину [math]u[/math]. Через [math]up[u][/math] обозначим минимум из времени захода в саму вершину [math]tin[u][/math], времен захода в каждую из вершин [math]p[/math], являющуюся концом некоторого обратного ребра [math](u,p)[/math], а также из всех значений [math]up[v][/math] для каждой вершины [math]v[/math], являющейся непосредственным сыном [math]u[/math] в дереве поиска.

Тогда из вершины [math]u[/math] или её потомка есть обратное ребро в её предка [math]\Leftrightarrow \exists[/math] такой сын [math]v[/math], что [math]up[v] \geqslant tin[u][/math].

Таким образом, если для текущей вершины [math]v \ne root [/math] существует непосредственный сын [math]v[/math]: [math]up[v] \geqslant tin[u][/math], то вершина [math]u[/math] является точкой сочленения, в противном случае она точкой сочленения не является.


Псевдокод

function findCutPoints(G[n]: Graph): // функция принимает граф G с количеством вершин n и выполняет поиск точек сочленения  во всем графе 
    visited = array[n, false]
                   
   function dfs(v: int, p: int):
      time = time + 1
      up[v] = tin[v] = time 
      visited[v] = true             
      for u: (v, u) in G   
         if u == p
            continue
         if visited[u]
            up[v] = min(up[v], tin[u])
         else
            dfs(u, v) 
            up[v] = min(up[v], tin[u])
            if up[to] >=  tin[v] && p != -1 // если граф состоит из 2 вершин и одного ребра, то p != -1 спасёт, иначе выведет 1 точку сочленения 
                 v — cutpoint 
      if v is root
            v — cutpoint 
                   	   
   for i = 1 to n             
      if not visited[i]              
         dfs(i, -1)

См. также

Источники информации