= Постановка задачи ={{ЗадачаПусть дан [[ориентированный граф|ориентированный definition = Дан граф]] без петель и кратных рёбер. Требуется , требуется проверить наличие [[Основные определения теории графов|цикла]] в этом графе.}}
Решим эту задачу с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин|поиска в глубину]] за O (M).== Алгоритм ==
= Алгоритм =Будем решать задачу с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин|поиска в глубину]].
Произведём В случае <b>ориентированного графа</b> произведём серию поисков в глубину в графе. Т.еобходов. То есть из каждой вершины, в которую мы ещё ни разу не приходили, запустим поиск в глубину, который при входе в вершину будет красить её в серый цвет, а при выходе из нее {{- --}} в чёрный. И , если поиск в глубину алгоритм пытается пойти в серую вершину, то это означает, что мы нашли циклнайден.
Сам цикл можно восстановить проходом В случае <b>неориентированного графа</b>, одно ребро не должно встречаться в [[Основные определения теории графов#def_no_graph_path|цикле]] дважды по массиву предковопределению. Поэтому необходимо дополнительно проверять, что текущее рассматриваемое из вершины ребро не являетя тем ребром, по которому мы пришли в эту вершину.
= Доказательство =Заметим, что, если в графе есть вершины с петлями, то алгоритм будет работать корректно, так как при запуске поиска в глубину из такой вершины, найдется ребро, ведущее в нее же, а значит эта петля и будет являться циклом.
Пусть дан граф <tex>G</tex>. Запустим <tex>dfs(G)</tex>. Рассмотрим выполнение процедуры Для восстановления самого цикла достаточно при запуске поиска в глубину от некоторой из очередной вершины <tex> v </tex>. Так как все серые вершины лежат добавлять эту вершину в стеке рекурсии, то для них вершина <tex> v </tex> достижима по [[Лемма о белых путяхСтек|белым путямстек]]. Тогда если из рассматриваемой вершины <tex> v </tex> существует ребро Когда поиск в серую глубину нашел вершину <tex> u </tex>, то это значиткоторая лежит на цикле, что из будем последовательно вынимать вершины <tex> u </tex> существует путь в <tex> v </tex> и из стека, пока не встретим найденную еще раз. Все вынутые вершины <tex> v </tex> существует путь в <tex> u </tex>. И так как оба эти пути не пересекаются, то существует циклбудут лежать на искомом цикле.
= Реализация =Асимптотика поиска цикла совпадает с асимптотикой поиска в глубину {{---}} <tex>O(|V| + |E|)</tex>.
Здесь приведена реализация алгоритма на С++[[Файл: Dfs_cycle.png|thumb|200px|right| Момент нахождения цикла: <font color=blue>синие</font> ребра {{---}} уже пройденные, <font color=red>красное</font> ребро ведет в серую, уже пройденную, вершину.]]
===С++=Доказательство ==
int graphПусть дан граф <tex>G</tex>. Запустим <tex>\mathrm{dfs}(G)</tex>. Рассмотрим выполнение процедуры поиска в глубину от некоторой вершины <tex> v </tex>. Так как все серые вершины лежат в стеке рекурсии, то для них вершина <tex> v </tex> достижима, так как между соседними вершинами в стеке есть ребро. Тогда, если из рассматриваемой вершины <tex> v </tex> существует ребро в серую вершину <tex> u </tex>, то это значит, что из вершины <tex> u </tex> существует путь в <tex> v </tex> и из вершины <tex> v </tex> существует путь в <tex> u </tex> состоящий из одного ребра. И так как оба эти пути не пересекаются, то цикл существует. Докажем, что если в графе <tex>G</tex> существует цикл, то <tex>\mathrm{dfs}(G)</tex> его всегда найдет. Пусть <tex> v </tex> {{---}} первая вершина принадлежащая циклу, рассмотренная поиском в глубину. Тогда существует вершина <tex> u </tex>, принадлежащая циклу и имеющая ребро в вершину <tex> v </tex>. Так как из вершины <tex> v </tex> в вершину <tex> u </tex> существует белый путь (они лежат на одном цикле), то по [[Лемма о белых путях|лемме о белых путях][];во время выполнения процедуры поиска в глубину от вершины <tex> u </tex>, вершина <tex> v </tex> будет серой. Так как из <tex> u </tex> есть ребро в <tex> v </tex>, то это ребро в серую вершину. Следовательно <tex>\mathrm{dfs}(G)</tex> нашел цикл. == Реализация для случая ориентированного графа == int <font color[];=darkgreen>// color {{---}} массив цветов, изначально все вершины белые </font> '''func''' dfs(int indexv: '''vertex''') : <font color=darkgreen> // v {{---}} вершина, в которой мы сейчас находимся </font> color[indexv] = <i>grey; <// красит вершину в серый цветi> '''for ''' (v u: uv - ребраvu <tex>\in</tex> E) '''if ''' ( color[vu] == <i>white </i>) dfs(vu); '''if ''' ( color[vu] == <i>grey </i>) print(); <font color=darkgreen> // вывод ответа </font> color[indexv] = <i>black; </i> == См. также ==* [[Использование обхода в глубину для проверки связности]]* [[Использование обхода в глубину для топологической сортировки]]* [[Использование обхода в глубину для поиска компонент сильной связности]]* [[Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения]]* [[Использование обхода в глубину для поиска мостов]] == Источники информации ==* [http://e-maxx.ru/ красит вершину в черный цветalgo/finding_cycle MAXimal :: algo {{---}} «Проверка графа на ацикличность и нахождение цикла»]* [http://shujkova.ru/sites/default/files/algorithm2.pdf Прикладные задачи алгоритма DFS]* ''Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р.'' Алгоритмы: построение и анализ.[http://wmate.ru/ebooks/?dl=380&mirror=1] — 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 1296.
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обход в глубину]]
