Использование обхода в глубину для поиска цикла — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 12 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
Пусть дан [[ориентированный граф|ориентированный граф]] без петель и кратных рёбер. Требуется проверить наличие [[Основные определения теории графов|цикла]] в этом графе.
+
{{Задача
 +
|definition = Дан граф, требуется проверить наличие [[Основные определения теории графов|цикла]] в этом графе.
 +
}}
  
Решим эту задачу с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин|поиска в глубину]] за <tex>O(M)</tex>.
+
== Алгоритм ==
 +
 
 +
Будем решать задачу с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин|поиска в глубину]].
 +
 
 +
В случае <b>ориентированного графа</b> произведём серию обходов. То есть из каждой вершины, в которую мы ещё ни разу не приходили, запустим поиск в глубину, который при входе в вершину будет красить её в серый цвет, а при выходе из нее {{---}} в чёрный. И, если алгоритм пытается пойти в серую вершину, то это означает, что цикл найден.
  
== Алгоритм ==
+
В случае <b>неориентированного графа</b>, одно ребро не должно встречаться в [[Основные определения теории графов#def_no_graph_path|цикле]] дважды по определению. Поэтому необходимо дополнительно проверять, что текущее рассматриваемое из вершины ребро не является тем ребром, по которому мы пришли в эту вершину.
  
Произведём серию поисков в глубину в графе. Т.е. из каждой вершины, в которую мы ещё ни разу не приходили, запустим поиск в глубину, который при входе в вершину будет красить её в серый цвет, а при выходе - в чёрный. И если поиск в глубину пытается пойти в серую вершину, то это означает, что мы нашли цикл.
+
Заметим, что, если в графе есть вершины с петлями, то алгоритм будет работать корректно, так как при запуске поиска в глубину из такой вершины, найдется ребро, ведущее в нее же, а значит эта петля и будет являться циклом.
  
Сам цикл можно восстановить проходом по массиву предков.
+
Для восстановления самого цикла достаточно при запуске поиска в глубину из очередной вершины добавлять эту вершину в [[Стек|стек]]. Когда поиск в глубину нашел вершину, которая лежит на цикле, будем последовательно вынимать вершины из стека, пока не встретим найденную еще раз. Все вынутые вершины будут лежать на искомом цикле.
[[Файл: Dfs_cycle.png|thumb|200px|right| Момент нахождения цикла: синие ребра - уже пройденные, красное ребро ведет в серую, уже пройденную, вершину.]]
 
  
== Доказательство ==
+
Асимптотика поиска цикла совпадает с асимптотикой поиска в глубину {{---}} <tex>O(|V| + |E|)</tex>.
  
Пусть дан граф <tex>G</tex>. Запустим <tex>dfs(G)</tex>. Рассмотрим выполнение процедуры поиска в глубину от некоторой вершины <tex> v </tex>. Так как все серые вершины лежат в стеке рекурсии, то для них вершина <tex> v </tex> достижима, так как между соседними вершинами в стеке есть ребро. Тогда если из рассматриваемой вершины <tex> v </tex> существует ребро в серую вершину <tex> u </tex>, то это значит, что из вершины <tex> u </tex> существует путь в <tex> v </tex> и из вершины <tex> v </tex> существует путь в <tex> u </tex> состоящий из одного ребра. И так как оба эти пути не пересекаются, то цикл существует.
+
[[Файл: Dfs_cycle.png|thumb|200px|right| Момент нахождения цикла: <font color=blue>синие</font> ребра {{---}} уже пройденные, <font color=red>красное</font> ребро ведет в серую, уже пройденную, вершину.]]
  
Докажем, что если в графе <tex>G</tex> существует цикл, то <tex>dfs(G)</tex> его всегда найдет. Пусть <tex> v </tex> - первая вершина принадлежащая циклу, рассмотренная поиском в глубину. Тогда существует вершина <tex> u </tex>, принадлежащая циклу и имеющая ребро в вершину <tex> v </tex>. Так как из вершины <tex> v </tex> в вершину <tex> u </tex> существует белый путь (они лежат на одном цикле), то по [[Лемма о белых путях|лемме о белых путях]] во время выполнения процедуры поиска в глубину от вершины <tex> u </tex>, вершина <tex> v </tex> будет серой. Так как из <tex> u </tex> есть ребро в <tex> v </tex>, то это ребро в серую вершину. Следовательно <tex>dfs(G)</tex> нашел цикл.
+
== Доказательство ==
  
== Реализация ==
+
Пусть дан граф <tex>G</tex>. Запустим <tex>\mathrm{dfs}(G)</tex>. Рассмотрим выполнение процедуры поиска в глубину от некоторой вершины <tex> v </tex>. Так как все серые вершины лежат в стеке рекурсии, то для них вершина <tex> v </tex> достижима, так как между соседними вершинами в стеке есть ребро. Тогда, если из рассматриваемой вершины <tex> v </tex> существует ребро в серую вершину <tex> u </tex>, то это значит, что из вершины <tex> u </tex> существует путь в <tex> v </tex> и из вершины <tex> v </tex> существует путь в <tex> u </tex> состоящий из одного ребра. И так как оба эти пути не пересекаются, то цикл существует.
  
Здесь приведена реализация алгоритма.
+
Докажем, что если в графе <tex>G</tex> существует цикл, то <tex>\mathrm{dfs}(G)</tex> его всегда найдет. Пусть <tex> v </tex> {{---}} первая вершина принадлежащая циклу, рассмотренная поиском в глубину. Тогда существует вершина <tex> u </tex>, принадлежащая циклу и имеющая ребро в вершину <tex> v </tex>. Так как из вершины <tex> v </tex> в вершину <tex> u </tex> существует белый путь (они лежат на одном цикле), то по [[Лемма о белых путях|лемме о белых путях]] во время выполнения процедуры поиска в глубину от вершины <tex> u </tex>, вершина <tex> v </tex> будет серой. Так как из <tex> u </tex> есть ребро в <tex> v </tex>, то это ребро в серую вершину. Следовательно <tex>\mathrm{dfs}(G)</tex> нашел цикл.
  
===Псевдокод===
+
== Реализация для случая ориентированного графа ==
 +
<font color=darkgreen>// color {{---}} массив цветов, изначально все вершины белые </font>
 +
'''func''' dfs(v: '''vertex'''):            <font color=darkgreen> // v {{---}} вершина, в которой мы сейчас находимся </font>
 +
    color[v] = <i>grey</i>           
 +
    '''for''' (u: vu <tex>\in</tex> E)
 +
        '''if''' (color[u] == <i>white</i>)
 +
            dfs(u)
 +
        '''if''' (color[u] == <i>grey</i>)
 +
            print()            <font color=darkgreen> // вывод ответа </font> 
 +
    color[v] = <i>black</i>
  
int graph[][];
+
== См. также ==
int color[];
+
* [[Использование обхода в глубину для проверки связности]]
dfs(int index)
+
* [[Использование обхода в глубину для топологической сортировки]]
    color[index] = grey;            // красит вершину в серый цвет
+
* [[Использование обхода в глубину для поиска компонент сильной связности]]
    for (v : uv - ребро)
+
* [[Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения]]
        if ( color[v] == white )
+
* [[Использование обхода в глубину для поиска мостов]]
            dfs(v);
 
        if ( color[v] == grey )
 
            print();            // вывод ответа 
 
    color[index] = black;        // красит вершину в черный цвет
 
  
== Литература ==
+
== Источники информации ==
 +
* [http://e-maxx.ru/algo/finding_cycle MAXimal :: algo {{---}} «Проверка графа на ацикличность и нахождение цикла»]
 +
* [http://shujkova.ru/sites/default/files/algorithm2.pdf Прикладные задачи алгоритма DFS]
 
* ''Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р.'' Алгоритмы: построение и анализ.[http://wmate.ru/ebooks/?dl=380&mirror=1] — 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 1296.
 
* ''Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р.'' Алгоритмы: построение и анализ.[http://wmate.ru/ebooks/?dl=380&mirror=1] — 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 1296.
 
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Обход в глубину]]
 
[[Категория: Обход в глубину]]

Текущая версия на 19:25, 4 сентября 2022

Задача:
Дан граф, требуется проверить наличие цикла в этом графе.


Алгоритм

Будем решать задачу с помощью поиска в глубину.

В случае ориентированного графа произведём серию обходов. То есть из каждой вершины, в которую мы ещё ни разу не приходили, запустим поиск в глубину, который при входе в вершину будет красить её в серый цвет, а при выходе из нее — в чёрный. И, если алгоритм пытается пойти в серую вершину, то это означает, что цикл найден.

В случае неориентированного графа, одно ребро не должно встречаться в цикле дважды по определению. Поэтому необходимо дополнительно проверять, что текущее рассматриваемое из вершины ребро не является тем ребром, по которому мы пришли в эту вершину.

Заметим, что, если в графе есть вершины с петлями, то алгоритм будет работать корректно, так как при запуске поиска в глубину из такой вершины, найдется ребро, ведущее в нее же, а значит эта петля и будет являться циклом.

Для восстановления самого цикла достаточно при запуске поиска в глубину из очередной вершины добавлять эту вершину в стек. Когда поиск в глубину нашел вершину, которая лежит на цикле, будем последовательно вынимать вершины из стека, пока не встретим найденную еще раз. Все вынутые вершины будут лежать на искомом цикле.

Асимптотика поиска цикла совпадает с асимптотикой поиска в глубину — [math]O(|V| + |E|)[/math].

Момент нахождения цикла: синие ребра — уже пройденные, красное ребро ведет в серую, уже пройденную, вершину.

Доказательство

Пусть дан граф [math]G[/math]. Запустим [math]\mathrm{dfs}(G)[/math]. Рассмотрим выполнение процедуры поиска в глубину от некоторой вершины [math] v [/math]. Так как все серые вершины лежат в стеке рекурсии, то для них вершина [math] v [/math] достижима, так как между соседними вершинами в стеке есть ребро. Тогда, если из рассматриваемой вершины [math] v [/math] существует ребро в серую вершину [math] u [/math], то это значит, что из вершины [math] u [/math] существует путь в [math] v [/math] и из вершины [math] v [/math] существует путь в [math] u [/math] состоящий из одного ребра. И так как оба эти пути не пересекаются, то цикл существует.

Докажем, что если в графе [math]G[/math] существует цикл, то [math]\mathrm{dfs}(G)[/math] его всегда найдет. Пусть [math] v [/math] — первая вершина принадлежащая циклу, рассмотренная поиском в глубину. Тогда существует вершина [math] u [/math], принадлежащая циклу и имеющая ребро в вершину [math] v [/math]. Так как из вершины [math] v [/math] в вершину [math] u [/math] существует белый путь (они лежат на одном цикле), то по лемме о белых путях во время выполнения процедуры поиска в глубину от вершины [math] u [/math], вершина [math] v [/math] будет серой. Так как из [math] u [/math] есть ребро в [math] v [/math], то это ребро в серую вершину. Следовательно [math]\mathrm{dfs}(G)[/math] нашел цикл.

Реализация для случая ориентированного графа

// color — массив цветов, изначально все вершины белые  
func dfs(v: vertex):             // v — вершина, в которой мы сейчас находимся 
    color[v] = grey             
    for (u: vu [math]\in[/math] E)
        if (color[u] == white)
            dfs(u)
        if (color[u] == grey)
            print()              // вывод ответа    
    color[v] = black

См. также

Источники информации