Изменения

== Алгоритм проверки наличия пути из s в t между двумя вершинами == === Задача === Дан граф <tex>G</tex> и две вершины <tex>s</tex> и <tex>t</tex>. Необходимо проверить, существует ли путь из вершины <tex>s</tex> в вершину <tex>t</tex> по рёбрам графа <tex>G</tex>.

Так как в первый момент времени все пути в графе "белые", то если вершина <tex>t</tex> и была достижима из <tex>s</tex>, то по [[Лемма о белых путях|лемме о белых путях]] в какой-то момент времени мы зайдём в вершину <tex>t</tex>, чтобы её покрасить. Время работы алгоритма <tex>O(M |V| + N|E|)</tex>.

'''bool[]''' visited; <font color=green>//visited {{---}} массив цветов вершин</font> <font color=green>// t {{---}} конечная вершина</font>

'''bool''' dfs(u, t: '''int''', visited: '''bool[]''') : '''if''' (u == t) '''return''' ''true''; visited[u] = ''true''; <font color=green>//помечаем вершину как пройденную</font> '''for''' (v таких, что (u, v) — ребро в G) : uv <tex>\in</tex> E <font color=green>//проходим по смежным с u вершинам</font> '''if''' ('''not''' visited[v]) <font color=green>//проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине</font> '''if''' (dfs(v), t, visited) '''return''' ''true''; '''return''' ''false'';

{{Задача|definition =Дан [[Основные определения теории графов|неориентированный граф]] <tex>G = (V, E)</tex>. Необходимо проверить, является ли он связным.}} === Задача Алгоритм ===Снова небольшая модификация алгоритма [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]], в которой будем возвращать количество посещенных вершин. Запустим такой <code>dfs()</code> от некоторой вершины графа <tex>G</tex>, если его результат равен <tex>|V|</tex>, то мы побывали во всех вершинах графа, а следовательно он связен, иначе какие-то вершины остались непосещенными. Работает алгоритм за <tex>O(|V| + |E|)</tex>.

<font color=green>// visited {{---}} массив цветов вершин</font> '''int''' dfs(u: '''int''', visited: '''bool[]'''): '''int''' visitedVertices =1 visited[u] = Алгоритм ''true'' <font color=green>// помечаем вершину как пройденную</font> '''for''' v: uv <tex>\in</tex> E <font color=green>// проходим по смежным с u вершинам</font> '''if''' '''not''' visited[v] <font color=green>// проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине</font> visitedVertices += dfs(v, visited) '''return''' visitedVertices

Заведём счётчик количества ==Проверка связности вершин которые мы ещё не посетили. В стандартной процедуре в режиме онлайн=={{Задача|definition =Дан пустой граф <codetex>dfs()G</codetex> будем уменьшать счётчик на единицу при входе в процедуру. Запустим алгоритм от некоторой вершины нашего графа. Если в конце работы процедуры , состоящий из <codetex>dfs()n</codetex> счётчик равен нулювершин. Поступают запросы, то мы побывали во всех вершинах графакаждый из которых {{---}} это пара вершин, а следовательно он связенмежду которыми надо добавить ребро. Если счётчик отличен от нуляНеобходимо в любой момент времени для двух выбранных вершин отвечать на вопрос, то мы не побывали в какой-то вершине графаявляются ли они связанными. Работает алгоритм за <tex>O}}===Алгоритм===Описываемая здесь идея довольна проста и будет основываться на [[СНМ (M + Nнаивные реализации)</tex>|системе непересекающихся множеств]].

'''bool[]''' visited; //массив цветов вершин '''int''' k = n; //счетчик изначально равен количеству вершин= См. также == function dfs(u: '''int''') k--; visited*[[uОбход в глубину, цвета вершин]] = ''true''; //помечаем вершину как пройденную '''for''' (v таких, что (u, v) — ребро *[[Использование обхода в G) //проходим по смежным с u вершинам '''if''' ('''not''' visited[vглубину для поиска цикла]]) //проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине dfs(v);