Использование обхода в глубину для проверки связности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Задача)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 26 промежуточных версий 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Задача ==
+
== Алгоритм проверки наличия пути между двумя вершинами ==
1)Дан [[Основные определения теории графов|неориентированный граф]] G и две вершины S и T. Необходимо проверить существует ли путь из вершины S в вершину T по рёбрам графа G.
 
2)Дан [[Основные определения теории графов|неориентированный граф]] G. Необходимо проверить является ли он связным.
 
  
== Алгоритм ==
+
{{Задача
Небольшая модификация алгоритма [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]]. Смысл алгоритма заключается в том, чтобы запустить обход в глубину из вершины U и проверять при каждом посещении вершины, не является ли она искомой вершиной V.
+
|definition =
Так как в первый момент времени все пути в графе "белые", то если вершина V и была достижима из U, то по [[Лемма о белых путях|Лемме о белых путях]] в какой-то момент времени мы зайдём в вершину V, чтобы её покрасить. Время работы алгоритма O(M + N).
+
Дан граф <tex>G = (V, E)</tex> и две вершины <tex>s</tex> и <tex>t</tex>. Необходимо проверить, существует ли путь из вершины <tex>s</tex> в вершину <tex>t</tex> по рёбрам графа <tex>G</tex>.
 +
}}
 +
=== Алгоритм ===
 +
 
 +
Небольшая модификация алгоритма [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]]. Смысл алгоритма заключается в том, чтобы запустить обход в глубину из вершины <tex>s</tex> и проверять при каждом посещении вершины, не является ли она искомой вершиной <tex>t</tex>.
 +
Так как в первый момент времени все пути в графе "белые", то если вершина <tex>t</tex> и была достижима из <tex>s</tex>, то по [[Лемма о белых путях|лемме о белых путях]] в какой-то момент времени мы зайдём в вершину <tex>t</tex>, чтобы её покрасить. Время работы алгоритма <tex>O(|V| + |E|)</tex>.
  
 
=== Реализация ===
 
=== Реализация ===
  vector<bool> visited;                      //вектор для хранения информации о ''пройденных'' и ''не пройденных'' вершинах
+
 
 +
  <font color=green>// visited {{---}} массив цветов вершин</font>
 +
<font color=green>// t {{---}} конечная вершина</font>
 
   
 
   
  bool dfs(int u)            
+
  '''bool''' dfs(u, t: '''int''', visited: '''bool[]'''):           
{
+
     '''if''' u == t
     if(u == t)
+
         '''return''' ''true''    
         return true;    
+
     visited[u] = ''true''                              <font color=green>// помечаем вершину как пройденную</font>
     visited[u] = true;                      //помечаем вершину как пройденную
+
     '''for''' v: uv <tex>\in</tex> E                                  <font color=green>// проходим по смежным с u вершинам</font>
     for (v таких, что (u, v) - ребро в G)  //проходим по смежным с u вершинам
+
         '''if''' '''not''' visited[v]                         <font color=green>// проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине</font>
         if (!visited[v])                    //проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
+
             '''if''' dfs(v, t, visited)
             if(dfs(v))
+
                 '''return''' ''true''
                 retrun true;
+
     '''return''' ''false''
     return false;
+
 
}
+
== Алгоритм проверки связности графа G ==
+
 
int main()
+
{{Задача
{
+
|definition =
    ...                                    //задание графа G с количеством вершин n и вершин S и T.
+
Дан [[Основные определения теории графов|неориентированный граф]] <tex>G = (V, E)</tex>. Необходимо проверить, является ли он связным.
    visited.assign(n, false);              //в начале все вершины в графе ''не пройденные''
+
}}
    if(dfs(s))
 
          std::out << "Путь из S в T существует";
 
        else
 
          std::out << "Пути из S в T нет";
 
    return 0;
 
}
 
  
== Алгоритм проверки связности ВСЕГО графа G ==
+
=== Алгоритм ===
Заведём счётчик количества вершин которые мы ещё не посетили. В стандартной процедуре dfs() будем уменьшать счётчик на единицу перед выходом из процедуры. Запустимся от какой-то вершины нашего графа. По окончании работы процедуры dfs() сравним счётчик с нулём. Если они равны, то мы побывали во всех вершинах графа, а следовательно он связен. Если счётчик отличен от нуля, то мы не побывали в какой-то вершине графа. Работает алгоритм за O(M + N).
+
Снова небольшая модификация алгоритма [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]], в которой будем возвращать количество посещенных вершин. Запустим такой <code>dfs()</code> от некоторой вершины графа <tex>G</tex>, если его результат равен <tex>|V|</tex>, то мы побывали во всех вершинах графа, а следовательно он связен, иначе какие-то вершины остались непосещенными. Работает алгоритм за <tex>O(|V| + |E|)</tex>.
  
 
=== Реализация ===
 
=== Реализация ===
  vector<bool> visited;                      //вектор для хранения информации о ''пройденных'' и ''не пройденных'' вершинах
+
 
int k = 0;
+
  <font color=green>// visited {{---}} массив цветов вершин</font> 
+
                             
void dfs(int u)               
+
'''int''' dfs(u: '''int''', visited: '''bool[]'''):              
{
+
     '''int''' visitedVertices = 1
     k--;
+
     visited[u] = ''true''                          <font color=green>// помечаем вершину как пройденную</font>
     visited[u] = true;                      //помечаем вершину как пройденную
+
     '''for''' v: uv <tex>\in</tex> E                              <font color=green>// проходим по смежным с u вершинам</font>
     for (v таких, что (u, v) - ребро в G)  //проходим по смежным с u вершинам
+
         '''if''' '''not''' visited[v]                       <font color=green>// проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине</font>
         if (!visited[v])                    //проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
+
             visitedVertices += dfs(v, visited)
             dfs(v);
+
    '''return''' visitedVertices
}
+
 
+
==Проверка связности вершин в режиме онлайн==
int main()
+
{{Задача
{
+
|definition =
    ...                                    //задание графа G с количеством вершин n и вершин S и T.
+
Дан пустой граф <tex>G</tex>, состоящий из <tex>n</tex> вершин. Поступают запросы, каждый из которых {{---}} это пара вершин, между которыми надо добавить ребро. Необходимо в любой момент времени для двух выбранных вершин отвечать на вопрос, являются ли они связанными.
    visited.assign(n, false);              //в начале все вершины в графе ''не пройденные''
+
}}
    int k = n;
+
===Алгоритм===
    for(int i = 0; i < n; i++)
+
Описываемая здесь идея довольна проста и будет основываться на [[СНМ (наивные реализации)|системе непересекающихся множеств]].  
        dfs(i);
+
 
    if(k == 0)
+
В каждом множестве будем хранить компоненты связности графа <tex>G</tex>. Тогда ответ на запросы второго типа будет заключаться в определении множеств, в которых находятся данные вершины, т.е. две вершины являются связанными, если они лежат в одной компоненте связности. Изначально все вершины находятся в разных компонентах связности. При добавлении ребра объединяем множества, в которых находятся его концы, если те различны.
                                            //вывести, что граф связен
+
 
        else
+
== См. также ==
                                            //вывести, что граф несвязен
+
*[[Обход в глубину, цвета вершин]]
    return 0;
+
*[[Использование обхода в глубину для поиска цикла]]
}
 
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Обход в глубину]]
 
[[Категория: Обход в глубину]]

Текущая версия на 19:17, 4 сентября 2022

Алгоритм проверки наличия пути между двумя вершинами

Задача:
Дан граф [math]G = (V, E)[/math] и две вершины [math]s[/math] и [math]t[/math]. Необходимо проверить, существует ли путь из вершины [math]s[/math] в вершину [math]t[/math] по рёбрам графа [math]G[/math].

Алгоритм

Небольшая модификация алгоритма обхода в глубину. Смысл алгоритма заключается в том, чтобы запустить обход в глубину из вершины [math]s[/math] и проверять при каждом посещении вершины, не является ли она искомой вершиной [math]t[/math]. Так как в первый момент времени все пути в графе "белые", то если вершина [math]t[/math] и была достижима из [math]s[/math], то по лемме о белых путях в какой-то момент времени мы зайдём в вершину [math]t[/math], чтобы её покрасить. Время работы алгоритма [math]O(|V| + |E|)[/math].

Реализация

// visited — массив цветов вершин 
// t — конечная вершина 

bool dfs(u, t: int, visited: bool[]):             
    if u == t
        return true    
    visited[u] = true                              // помечаем вершину как пройденную
    for v: uv [math]\in[/math] E                                  // проходим по смежным с u вершинам
        if not visited[v]                          // проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
            if dfs(v, t, visited)
                return true
    return false

Алгоритм проверки связности графа G

Задача:
Дан неориентированный граф [math]G = (V, E)[/math]. Необходимо проверить, является ли он связным.


Алгоритм

Снова небольшая модификация алгоритма обхода в глубину, в которой будем возвращать количество посещенных вершин. Запустим такой dfs() от некоторой вершины графа [math]G[/math], если его результат равен [math]|V|[/math], то мы побывали во всех вершинах графа, а следовательно он связен, иначе какие-то вершины остались непосещенными. Работает алгоритм за [math]O(|V| + |E|)[/math].

Реализация

// visited — массив цветов вершин  
                             
int dfs(u: int, visited: bool[]):              
    int visitedVertices = 1
    visited[u] = true                           // помечаем вершину как пройденную
    for v: uv [math]\in[/math] E                               // проходим по смежным с u вершинам
        if not visited[v]                       // проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
            visitedVertices += dfs(v, visited)
    return visitedVertices

Проверка связности вершин в режиме онлайн

Задача:
Дан пустой граф [math]G[/math], состоящий из [math]n[/math] вершин. Поступают запросы, каждый из которых — это пара вершин, между которыми надо добавить ребро. Необходимо в любой момент времени для двух выбранных вершин отвечать на вопрос, являются ли они связанными.

Алгоритм

Описываемая здесь идея довольна проста и будет основываться на системе непересекающихся множеств.

В каждом множестве будем хранить компоненты связности графа [math]G[/math]. Тогда ответ на запросы второго типа будет заключаться в определении множеств, в которых находятся данные вершины, т.е. две вершины являются связанными, если они лежат в одной компоненте связности. Изначально все вершины находятся в разных компонентах связности. При добавлении ребра объединяем множества, в которых находятся его концы, если те различны.

См. также