Редактирование: Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
Метод интересен прежде всего тем, что [[Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости|задачу о назначениях]] можно свести к задаче о поиске потока минимальной стоимости, и тогда эффективность решения задачи о назначениях будет определяться именно асимптотикой работы этого алгоритма.
+
== Потенциал Джонсона ==
 
 
== Мотивация ==
 
 
 
Зачем нужно использовать потенциалы Джонсона?
 
 
 
Идея аналогична идее, использующейся в [[Алгоритм Джонсона|алгоритме Джонсона]].
 
 
 
При [[Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости|поиске потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости]] нам требуется находить минимальный по стоимости поток из истока в сток. Это реализуется с помощью алгоритмов поиска кратчайшего пути в графе. Поскольку стоимость некоторых рёбер может быть отрицательной, нам приходится использовать [[Алгоритм Форда-Беллмана|алгоритм Форда-Беллмана]]. Однако гораздо эффективней было бы применить [[Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры]] для этой же цели, так как у него гораздо лучше асимптотика. Для этого нам надо перевзвесить рёбра графа.
 
 
 
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Пусть дана транспортная сеть <tex>\,G(V,E)</tex>, где <tex>V</tex> — множество вершин графа, а <tex>E</tex> — множество рёбер. Введем в каждой вершине потенциал <tex>p(v)</tex>. Тогда потенциальный вес (то есть стоимость) ребра <tex>(u, v)</tex> определяется как
+
|definition=Пусть дана транспортная сеть <math>\,G(V,E)</math>. Введем в каждой вершине потенциал <math>\,P_i</math>. Тогда остаточная стоимость ребра <math>\,C_{P_{ij}}</math> определяется как
<tex>w_p(u, v) = w(u, v) + p(u) - p(v) </tex>
+
<math>\,C_{P_{ij}} = C_{ij} + P_i - P_j </math>
 
}}
 
}}
Заметим, что сумма потенциальных весов ребер вдоль любого пути отличается от суммы весов вдоль того же самого пути на разность между потенциалом первой и последней вершины.
+
Заметим что сумма остаточных стоимостей ребер вдоль любого пути отличается от суммы стоимостей вдоль того же самого пути на разность между потенциалом первой и последней вершины.
 
 
== Использование потенциалов Джонсона ==
 
Возьмём значения потенциалов в вершинах равными минимальному расстоянию от истока до них, а расстояния найдём с помощью [[Алгоритм Форда-Беллмана|алгоритма Форда-Беллмана]]. Таким образом, нам его придётся запустить всего один раз, а не на каждом шаге алгоритма. Однако, после добавления потока вдоль кратчайшего увеличивающего пути в сети могут появиться новые ребра, равно как и исчезнуть старые, и будет необходимо пересчитать потенциалы, чтобы они оставались корректными, то есть <tex>p(v)</tex> - длина кратчайшего пути от истока в вершину <tex>v</tex> в новой сети. Научимся делать это, не запуская каждый раз Форда-Беллмана.
 
 
 
Для начала докажем, что в сети с корректными потенциалами <tex>w_p(u, v) = 0</tex> для любого ребра <tex>(u, v)</tex>, лежащего на кратчайшем пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>.
 
 
 
Пусть <tex>s, v_1, v_2, \ldots, v_k, t</tex> - кратчайший путь из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>, и <tex>d(u, v)</tex> - длина кратчайшего пути между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в исходной сети без потенциалов. Тогда <tex>w(s, v_1) + w(v_1, v_2) + \ldots + w(v_k, t) = d(s, t)</tex> и <tex>w_p(s, v_1) + w_p(v_1, v_2) + \ldots + w_p(v_k, t) = p(s) + w(s, v_1) + w(v_1, v_2) + \ldots + w(v_k, t) - p(t) = p(s) + d(s, t) - p(t) = p(s) + p(t) - p(t) = p(s) = 0</tex>. Таким образом, сумма всех потенциальных весов ребер на кратчайшем пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> равна нулю. Кроме того, для любого ребра <tex>(u, v)</tex> <tex>w_p(u, v) \geq 0</tex>. Следственно, <tex>w_p(u, v) = 0</tex> для любого ребра <tex>(u, v)</tex>, лежащего на кратчайшем пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>.
 
 
 
Более того, потенциальный вес всех ребер, обратных ребрам из кратчайшего пути, тоже равен <tex>0</tex>. И правда, <tex>w_p(u, v) = w(u, v) + d(s, u) - d(s, v) = 0</tex>. Умножив на <tex>-1</tex>, получаем <tex>0 = -w(u, v) - d(s, u) + d(s, v) = w(v, u) + d(s, v) - d(s, u) = w_p(v, u)</tex>
 
 
 
Из доказанных выше фактов следует, что при добавлении потока вдоль кратчайшего пути в сети с корректными потенциалами не появляется ребер с отрицательным весом (однако сами потенциалы уже становятся некорректными). Но так как ребер отрицательного веса нет, то мы можем пустить алгоритм Дейкстры из <tex>s</tex>, чтобы насчитать новые потенциалы. Пусть <tex>d_1(u, v)</tex> - кратчайшее расстояние, найденное алгоритмом Дейкстры, из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> в сети с появившимися новыми ребрами, но старыми потенциалами, а <tex>d(u, v)</tex> - кратчайшее расстояние в новой сети без потенциалов. Нетрудно заметить, что <tex>d_1(s, v) = d(s, v) - p(v)</tex>, следственно, <tex>d(s, v) = d_1(s, v) + p(v)</tex>. Зная настоящие расстояния от истока до каждой вершины, мы теперь можем проставить новые потенциалы. Для каждой вершины <tex>v</tex> <tex>p(v) \gets d(s, v) = d_1(s, v) + p(v)</tex>.
 
 
 
Кроме того, мы также нашли новый кратчайший путь из истока из сток - а значит, на следующей итерации алгоритма мы можем пустить поток по нему и повторить все заново.
 
 
 
==Реализация==
 
Модифицируем псевдокод из статьи про [[Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости|поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости]]:
 
 
 
'''for''' <tex>e \in E</tex> {
 
      <tex>f[e] \leftarrow 0</tex>
 
}
 
Запустим алгоритм Форда-Беллмана, в результате для каждой вершины: <tex>p[v] </tex> — кратчайшее расстояние <tex>s \leadsto v</tex>,
 
если за длину ребра принимается его стоимость.
 
'''while''' (существует путь <tex>s \leadsto t</tex> в остаточной сети <tex>G_f</tex>) {
 
      Восстановить <tex>P </tex> — кратчайший в смысле стоимости путь <tex>s \leadsto t</tex>, найденный на предыдущем шаге
 
      дополнить поток <tex>f</tex> вдоль <tex>P</tex>
 
      Запустить алгоритм Дейкстры из <tex>s</tex>, чтобы насчитать <tex>d_1</tex>
 
      '''for''' <tex>v \in V</tex> {
 
            <tex>p[v] \leftarrow p[v] + d_1[v]</tex>
 
      }
 
}
 
 
 
==Асимптотика==
 
Пусть все пропускные способности целочисленны.
 
[[Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости|Метод целиком]] работает за <tex>O(F(V, E) \cdot |f|)</tex>, где <tex>F(V, E)</tex> — время одной итерации.
 
 
 
Время, затраченное на одну итерацию, определяется скоростью поиска кратчайшего пути.
 
Если для этой цели использовать [[Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры]] с Фиббоначевыми кучами, то поиск мы осуществим за <tex>O(V \log V + E)</tex>.
 
 
 
Не стоит так же забывать, что для расчёта потенциалов мы один раз запустили Алгоритм Форда-Беллмана.
 
В результате получим время работы <tex>O((V \log V + E) \cdot |f| + V E)</tex>.
 
 
 
Это лучше, чем <tex>O((V E) \cdot |f|)</tex>, что получается при использовании [[Алгоритм Форда-Беллмана|алгоритма Форда-Беллмана]] для поиска кратчайшего пути на каждой итерации.
 
 
 
 
 
В применении к [[Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости|задаче о назначениях]]: пусть у нас есть <tex>N</tex> назначений. Построим специальным образом граф. Искомый поток в нём имеет имеет мощность <tex>N</tex>. Количество вершин  — <tex>O(N)</tex>, рёбер — <tex>O(N^2)</tex>. Итого получаем асимптотику <tex>O(N^2 \log N + 2N^3) = O(N^3)</tex>.
 
 
 
== Литература ==
 
* ''Andrew V. Goldberg'' An Efficient implementation of a scaling minimum-cost flow algorithm - Journal of Algorithms, 1997
 
  
 +
== Использование потениалов Джонсона ==
 +
Если <math>\forall i, j \,C_{P_{ij}} \geqslant 0</math> то при поиске минимального по стоимости пути от истока до стока можно пользоваться алгоритмом Дейкстры, а не алгоритмом Форда-Беллмана, что сильно улучшает ассимптотику алгоритма.
  
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
+
Пусть каждом шаге алгоритма значения потенциалов в вершинах будут равны минимальному по цене расстоянию от стока до них, или <math>+\infty</math> если она недостижима. Так как <math>\,C_{ij} + P_i</math> это длина какого-то пути до вершины <math>\,j</math>, а <math>\,P_j</math> - длина минимального пути, то <math>C_{P_{ij}} \geqslant 0</math>, что от нас и требовалось.
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблон, используемый на этой странице: