Редактирование: Использование производящих функций для доказательства тождеств

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 103: Строка 103:
  
 
{{Задача
 
{{Задача
|definition = Доказать, что <tex>f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_n \cdot f_{n+1}</tex>.
+
|definition = Доказать, что <tex>f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_nf_{n+1}</tex>.
 
}}
 
}}
 
[[Решение рекуррентных соотношений#.5Bmath.5D3.5B.2Fmath.5D_.D0.BF.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80 | Известно]], что производящая функция последовательности <tex>f_0^2, f_1^2, \ldots, f_n^2, \ldots</tex> равна <tex>G(z) = \dfrac{1 - z}{1 - 2z - 2z^2 + z^3}.</tex>
 
[[Решение рекуррентных соотношений#.5Bmath.5D3.5B.2Fmath.5D_.D0.BF.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80 | Известно]], что производящая функция последовательности <tex>f_0^2, f_1^2, \ldots, f_n^2, \ldots</tex> равна <tex>G(z) = \dfrac{1 - z}{1 - 2z - 2z^2 + z^3}.</tex>
Строка 110: Строка 110:
 
<br><tex>A(z) = \dfrac{1 - z}{(1 - 2z - 2z^2 + z^3)(1 - z)} = \dfrac{1}{1 - 2z - 2z^2 + z^3}.</tex><br>
 
<br><tex>A(z) = \dfrac{1 - z}{(1 - 2z - 2z^2 + z^3)(1 - z)} = \dfrac{1}{1 - 2z - 2z^2 + z^3}.</tex><br>
  
Теперь получим производящую функцию <tex>B(z)</tex> для последовательности, соответствующей правой части <tex>(f_0 \cdot f_1, f_1 \cdot f_2, \ldots)</tex>:
+
Теперь получим производящую функцию <tex>B(z)</tex> для последовательности, соответствующей правой части <tex>(f_0f_1, f_1f_2, \ldots)</tex>:
<br><tex>b_n = f_n \cdot f_{n+1} = f_n(f_{n-1} + f_n) = f_{n-1} \cdot f_n + f_n^2 = b_{n-1} + g_n.</tex><br>
+
<br><tex>b_n = f_nf_{n+1} = f_n(f_{n-1} + f_n) = f_{n-1}f_n + f_n^2 = b_{n-1} + g_n.</tex><br>
  
 
<br><tex>
 
<br><tex>
Строка 134: Строка 134:
 
<br><tex>B(z) = \dfrac{G(z)}{1 - z} = \dfrac{1}{1 - 2z - 2z^2 + z^3} = A(z).</tex><br>
 
<br><tex>B(z) = \dfrac{G(z)}{1 - z} = \dfrac{1}{1 - 2z - 2z^2 + z^3} = A(z).</tex><br>
  
Производящие функции <tex>A(z)</tex> и <tex>B(z)</tex> равны <tex>\Rightarrow</tex> почленно равны задаваемые ими последовательности <tex>f_0^2, f_1^2, f_2^2, \ldots</tex> и <tex>f_0 \cdot f_1, f_1 \cdot f_2, f_2 \cdot f_3, \ldots</tex>, а значит, и исходное равенство <tex>f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_n \cdot f_{n+1}</tex> выполняется.
+
Производящие функции <tex>A(z)</tex> и <tex>B(z)</tex> равны <tex>\Rightarrow</tex> почленно равны задаваемые ими последовательности <tex>f_0^2, f_1^2, \ldots, f_n^2, \ldots</tex> и <tex>f_0f_1, f_1f_2, \ldots</tex>, а значит, и исходное равенство <tex>f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_nf_{n+1}</tex> выполняется.
  
 
==См. также==
 
==См. также==

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)