Использование производящих функций для доказательства тождеств — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 26: Строка 26:
  
 
<tex>[x^{2k + 1}]C(x) = \sum\limits_{i = 0}^{2k + 1}((i + 1) \cdot (-1)^{2k + 1 - i} \cdot (2k + 2 - i))</tex>
 
<tex>[x^{2k + 1}]C(x) = \sum\limits_{i = 0}^{2k + 1}((i + 1) \cdot (-1)^{2k + 1 - i} \cdot (2k + 2 - i))</tex>
 +
 +
Рассмотрим <tex>i</tex>-ое и <tex>2k + 1 - i</tex>-ое слагаемые этой суммы равны. Модуль <tex>i</tex>-ого равен <tex>(i + 1) \cdot (2k + 2 - i)</tex>, а модуль <tex>2k + 1 - i</tex>-ого слагаемого равен <tex>(2k + 1 - i + 1) \cdot (2k + 2 - (2k + 1 - i)) = (2k + 2 - i) \cdot (i + 1)</tex>, то есть слагаемые равны по модулю. Знак <tex>i</tex>-ого слагаемого определяется выражением <tex>(-1)^{2k + 1 - i} = (-1)^{1 - i}</tex>, а знак <tex>2k + 1 - i</tex>-ого {{---}} выражением <tex>(-1)^{2k + 1 - (2k + 1 - i)} = (-1)^i</tex>, то есть эти слагаемые равны по модулю, но противоположны по знаку.
 +
 +
Так как слагаемых всего <tex>2k + 1 - 0 + 1</tex> (то есть их чётное число), и каждое слагаемое входит в сумму дважды с противоположными знаками, <tex>[x^{2k + 1}]C(x) = 0</tex>

Версия 23:01, 22 мая 2018

В дальнейшем будем обозначать [math][x^n]A(x)[/math] коэффициент при [math]x^n[/math] в формальном степенном ряде [math]A(x)[/math]


Задача:
Доказать, что [math]\sum\limits_{i = 0}^{2n} (-1)^i \cdot (i + 1) \cdot (2n + 1 - i) = n + 1[/math]


Докажем, что [math]\sum\limits_{i = 0}^{2n} (-1)^i \cdot (i + 1) \cdot (2n + 1 - i) = 1 \cdot (2n + 1) - 2 \cdot (2n) + 3 \cdot (2n - 1) + \ldots + (2n + 1) \cdot 1 = n + 1[/math]

Рассмотрим известную нам производящую функцию

[math]A(x) = \dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \ldots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}x^n[/math]

Возводя её в квадрат, по определению произведения формальных степенных рядов, получаем [math]B(x) = A^2(x) = \dfrac{1}{1 - x} \cdot \dfrac{1}{1 - x} = (\sum\limits_{n = 0}^{\infty}x^n) \cdot (\sum\limits_{n = 0}^{\infty}x^n) = [/math]

[math] = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} x^n \cdot \sum\limits_{i = 0}^{n}([x^i]A(x) \cdot [x^{n - i}]A(x)) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} x^n \cdot \sum\limits_{i = 0}^{n}(1 \cdot 1) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot x^n[/math]

То есть [math]\dfrac{1}{(1 - x)^2} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot x^n[/math]

Подставляя в эту производящую функцию [math]-x[/math] вместо [math]x[/math] в помощью операции подстановки, получаем [math]B'(x) = \dfrac{1}{(1 - (-x))^2} = \dfrac{1}{(1 + x)^2} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot (-x)^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \cdot (n + 1) \cdot x^n [/math]

Перемножая эти степенные ряды, получаем

[math]C(x) = \dfrac{1}{(1 - x)^2} \cdot \dfrac{1}{(1 + x)^2} = (\sum\limits_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot x^n) \cdot (\sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \cdot (n + 1) \cdot x^n) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}x^n \cdot \sum\limits_{i = 0}^{n}((i + 1) \cdot (-1)^{n - i} \cdot (n - i + 1))[/math]

Рассмотрим [math][x^{2k + 1}]C(x)[/math]

[math][x^{2k + 1}]C(x) = \sum\limits_{i = 0}^{2k + 1}((i + 1) \cdot (-1)^{2k + 1 - i} \cdot (2k + 2 - i))[/math]

Рассмотрим [math]i[/math]-ое и [math]2k + 1 - i[/math]-ое слагаемые этой суммы равны. Модуль [math]i[/math]-ого равен [math](i + 1) \cdot (2k + 2 - i)[/math], а модуль [math]2k + 1 - i[/math]-ого слагаемого равен [math](2k + 1 - i + 1) \cdot (2k + 2 - (2k + 1 - i)) = (2k + 2 - i) \cdot (i + 1)[/math], то есть слагаемые равны по модулю. Знак [math]i[/math]-ого слагаемого определяется выражением [math](-1)^{2k + 1 - i} = (-1)^{1 - i}[/math], а знак [math]2k + 1 - i[/math]-ого — выражением [math](-1)^{2k + 1 - (2k + 1 - i)} = (-1)^i[/math], то есть эти слагаемые равны по модулю, но противоположны по знаку.

Так как слагаемых всего [math]2k + 1 - 0 + 1[/math] (то есть их чётное число), и каждое слагаемое входит в сумму дважды с противоположными знаками, [math][x^{2k + 1}]C(x) = 0[/math]