Изменения

Найдём производящую функцию последовательности <tex>A: f_0, f_0 + f_1, f_0 + f_1 + f_2, \ldots, \sum\limits_{k = 0}^{n} f_k, \ldots</tex>. Согласно утверждению [[Использование производящих функций для доказательства тождеств#lemma1 | леммы]], её производящая функция <tex>\dfrac{F(t)}{1 - t}</tex>, где <tex>F(t)</tex> {{---}} производящая функция последовательности Фибоначчи. Найдём производящую функцию последовательности <tex>B: f_2 + 1, f_3 + 1, \ldots, f_{n + 2} + 1, \ldots</tex>. Будем искать её в виде <tex>B(t) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (f_{n + 2} + 1) \cdot t^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} f_{n + 2} \cdot t^n + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} t^n = (f_2 + f_3 \cdot t + f_4 \cdot t^2 + \ldots f_{n + 2} \cdot t^n + \ldots) + \dfrac{1}{1 - t} = </tex> <tex>= \dfrac{f_2 \cdot t^2 + f_3 \cdot t^3 + f_4 \cdot t^4 + \ldots f_{n + 2} \cdot t^{n + 2} + \ldots}{t^2} + \dfrac{1}{1 - t} = </tex> <tex> = \dfrac{(f_0 + f_1 \cdot t + f_2 \cdot t^2 + f_3 \cdot t^3 + f_4 \cdot t^4 + \ldots f_{n + 2} \cdot t^{n + 2} + \ldots) - f_1 \cdot t - f_0}{t^2} + \dfrac{1}{1 - t} = </tex> <tex>= \dfrac{(f_0 + f_1 \cdot t + f_2 \cdot t^2 + f_3 \cdot t^3 + f_4 \cdot t^4 + \ldots f_{n + 2} \cdot t^{n + 2} + \ldots) - t - 1}{t^2} + \dfrac{1}{1 - t} = \dfrac{(\sum\limits_{n = 0}^{\infty} f_n \cdot t^n) - t - 1}{t^2} + \dfrac{1}{1 - t} = </tex> <tex>= \dfrac{F(t) - t - 1}{t^2} + \dfrac{1}{1 - t}</tex>