Исчисление высказываний, общие определения. Таблицы истинности. Общезначимость — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Язык исчисления высказываний)
(Язык исчисления высказываний)
 
Строка 1: Строка 1:
 
==Язык исчисления высказываний==
 
==Язык исчисления высказываний==
 
+
===Определения===
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Строка 6: Строка 6:
 
* <nowiki><выражение></nowiki> ::= <nowiki><импликация></nowiki>
 
* <nowiki><выражение></nowiki> ::= <nowiki><импликация></nowiki>
 
* <nowiki><импликация></nowiki> ::= <nowiki><дизъюнкция></nowiki> <tex>|</tex> <nowiki><дизъюнкция></nowiki> <tex>\rightarrow</tex> <nowiki><импликация></nowiki>  
 
* <nowiki><импликация></nowiki> ::= <nowiki><дизъюнкция></nowiki> <tex>|</tex> <nowiki><дизъюнкция></nowiki> <tex>\rightarrow</tex> <nowiki><импликация></nowiki>  
* <nowiki><дизъюнкция></nowiki> ::= <nowiki><конъюнкция></nowiki> <tex>|</tex> <nowiki><дизъюнкция></nowiki> <tex>\vee</tex> <nowiki><конъюнкция></nowiki>}
+
* <nowiki><дизъюнкция></nowiki> ::= <nowiki><конъюнкция></nowiki> <tex>|</tex> <nowiki><дизъюнкция></nowiki> <tex>\vee</tex> <nowiki><конъюнкция></nowiki>
 
* <nowiki><конъюнкция></nowiki> ::= <nowiki><терм></nowiki> <tex>|</tex> <nowiki><конъюнкция></nowiki> <tex>\&</tex> <nowiki><терм></nowiki>
 
* <nowiki><конъюнкция></nowiki> ::= <nowiki><терм></nowiki> <tex>|</tex> <nowiki><конъюнкция></nowiki> <tex>\&</tex> <nowiki><терм></nowiki>
 
* <nowiki><терм></nowiki> ::= <nowiki><пропозициональная переменная></nowiki> <tex>|</tex> (<nowiki><выражение></nowiki>) <tex>|</tex> <tex>\neg</tex> <nowiki><терм></nowiki>
 
* <nowiki><терм></nowiki> ::= <nowiki><пропозициональная переменная></nowiki> <tex>|</tex> (<nowiki><выражение></nowiki>) <tex>|</tex> <tex>\neg</tex> <nowiki><терм></nowiki>
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<nowiki><пропозициональная переменная></nowiki> формально не определяется. Договоримся, что это - буква латинского алфавита (возможно, с нижним индексом).
 +
}}
 +
===Расстановка скобок===
 +
Так построенная грамматика предписывает определенный способ расстановки
 +
опущенных скобок, при этом скобки у конъюнкции и дизъюнкции расставляются
 +
слева направо, а у импликации --- справа налево (это соответствует традиционному
 +
чтению), так что выражение <tex>A \rightarrow B\&C\&D \rightarrow E</tex> следует
 +
понимать как <tex>A \rightarrow (((B\&C)\&D) \rightarrow E)</tex>. Все выражения,
 +
которые отличаются только наличием дополнительных незначащих скобок
 +
(не изменяющих порядок операций), мы будем считать одинаковыми.
 +
 +
Иногда полезно ограничивать свободу расстановки скобок:
 +
* <nowiki><выражение></nowiki> ::= <nowiki><импликация></nowiki>
 +
* <nowiki><импликация></nowiki> ::= <nowiki><дизъюнкция></nowiki> <tex>|</tex> (<nowiki><дизъюнкция></nowiki> <tex>\rightarrow</tex> <nowiki><импликация></nowiki>)
 +
* <nowiki><дизъюнкция></nowiki> ::= <nowiki><конъюнкция></nowiki> <tex>|</tex> (<nowiki><дизъюнкция></nowiki> <tex>\vee</tex> <nowiki><конъюнкция></nowiki>)
 +
* <nowiki><конъюнкция></nowiki> ::= <nowiki><терм></nowiki> <tex>|</tex> (<nowiki><конъюнкция></nowiki> <tex>\&</tex> <nowiki><терм></nowiki>)
 +
* <nowiki><терм></nowiki> ::= <nowiki><пропозициональная переменная></nowiki> <tex>|</tex> (<nowiki><выражение></nowiki>) <tex>|</tex> <tex>\neg</tex> <nowiki><терм></nowiki>
 +
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
''Высказывание'' - любая формула, порожденная данными грамматиками.
 
}}
 
}}

Текущая версия на 19:09, 12 января 2012

Язык исчисления высказываний[править]

Определения[править]

Определение:
Языком исчисления высказываний мы назовем язык [math]L[/math], порождаемый следующей грамматикой со стартовым нетерминалом <выражение>:
  • <выражение> ::= <импликация>
  • <импликация> ::= <дизъюнкция> [math]|[/math] <дизъюнкция> [math]\rightarrow[/math] <импликация>
  • <дизъюнкция> ::= <конъюнкция> [math]|[/math] <дизъюнкция> [math]\vee[/math] <конъюнкция>
  • <конъюнкция> ::= <терм> [math]|[/math] <конъюнкция> [math]\&[/math] <терм>
  • <терм> ::= <пропозициональная переменная> [math]|[/math] (<выражение>) [math]|[/math] [math]\neg[/math] <терм>


Определение:
<пропозициональная переменная> формально не определяется. Договоримся, что это - буква латинского алфавита (возможно, с нижним индексом).

Расстановка скобок[править]

Так построенная грамматика предписывает определенный способ расстановки опущенных скобок, при этом скобки у конъюнкции и дизъюнкции расставляются слева направо, а у импликации --- справа налево (это соответствует традиционному чтению), так что выражение [math]A \rightarrow B\&C\&D \rightarrow E[/math] следует понимать как [math]A \rightarrow (((B\&C)\&D) \rightarrow E)[/math]. Все выражения, которые отличаются только наличием дополнительных незначащих скобок (не изменяющих порядок операций), мы будем считать одинаковыми.

Иногда полезно ограничивать свободу расстановки скобок:

  • <выражение> ::= <импликация>
  • <импликация> ::= <дизъюнкция> [math]|[/math] (<дизъюнкция> [math]\rightarrow[/math] <импликация>)
  • <дизъюнкция> ::= <конъюнкция> [math]|[/math] (<дизъюнкция> [math]\vee[/math] <конъюнкция>)
  • <конъюнкция> ::= <терм> [math]|[/math] (<конъюнкция> [math]\&[/math] <терм>)
  • <терм> ::= <пропозициональная переменная> [math]|[/math] (<выражение>) [math]|[/math] [math]\neg[/math] <терм>


Определение:
Высказывание - любая формула, порожденная данными грамматиками.