442
правки
Изменения
→Интерпретация булевых формул с кванторами как игр для двух игроков
Если некоторое вхождение переменной <tex>x</tex> находится в области действия квантора по переменной <tex>x</tex>, то такое вхождение мы назовем '''связанным'''. Вхождение переменной <tex>x</tex> непосредственно рядом с квантором (<tex>\forall x \dots</tex>) мы назовем '''связывающим'''. Те вхождения переменных, которые не являются связанными или связывающими, назовем '''свободными'''. Формула, не имеющая свободных вхождений переменных, называется '''замкнутой'''.
}}
{{Определение
|definition=
Будем говорить, что переменная <tex>y </tex> свободна для <tex>x</tex> при подстановке в формулу <tex>\psi</tex> (или просто свободна для подстановки вместо <tex>x</tex>), если после подстановки <tex>y</tex> вместо свободных вхождений <tex>x</tex> ни одно ее вхождение не станет связанным.
}}
Чтобы получить список аксиом для исчисления предикатов, возьмем все схемыаксиом исчисления высказываний и дополним их следующими двумя схемами.Здесь <tex>x</tex> {{--- }} переменная, <tex>\psi</tex> {{-- -}} некоторая формула, <tex>y</tex> {{- --}} некоторая переменнаяформула.Запись <tex>\psi[x := y]</tex> будет означать результат подстановки <tex>y</tex> в <tex>\psi</tex> вместо всех свободных вхождений <tex>x</tex>. Пусть <tex>y</tex> свободно для подстановки вместо <tex>x</tex>.
(11) <tex>\forall{x}(\psi) \rightarrow (\psi[x := \alpha]) </tex>
<tex> \forall y \exists x A(x,y) \rightarrow \exists x A (x,x) </tex>. Однако, оно ей не является.
Пример, когда нарушение свободы для подстановки приводит к противоречию: <tex>\forall{x}(\psi) \to (\psi[x := \alpha]) \\\psi := \exists a \lnot P(a) = P(b), x := b, \alpha := a \\\forall b \exists a (\lnot P(a) = P(b)) \to \exists a (\lnot P(a) = P(a)) \\</tex> Такой предикат <tex>P</tex>, очевидно, существует (если в предметном множестве больше одного элемента). Тогда <tex>\exists a (\lnot P(a) = P(a))</tex> Противоречие, следовательно, <tex>z</tex> должен быть свободен для подстановки вместо <tex>\alpha</tex>. Все аксиомы, порожденные данными схемами в новом языке, мы назовем аксиомами исчисления
предикатов.
Пусть <tex>x</tex> не входит свободно в <tex>\phi</tex>. Тогда рассмотрим следующие дополнительные
правила вывода исчисления предикатов:
<tex> \frac {(\phi) \rightarrow (\psi)} {(\phi) \rightarrow \forall{x}(\psi)}</tex>
Комментарии:
<!-- По-моему, в следующем абзаце бред. // Андрей Рыбак -->
"Не входит свободно" - это также важный вопрос.
Рассмотрим формулу <tex>A(x) \rightarrow A(x)</tex>. Легко показать, что такая
формула общезначима и доказуема. Однако, <tex>(\exists{x}A(x)) \rightarrow A(x)</tex>
не является общезначимой, если <tex>A(x)</tex> не общезначима: достаточно взять в качестве
оценки свободной переменной <tex>x</tex> то значение, на котором <tex>A(x)</tex> ложна.
Вывод из гипотез также вполне можно расширить на исчисление предикатов.
=== Итог ===
{{Определение
|definition=
Формальная система, составленная из указанного языка, множества аксиом и множестваправил вывода, называется '''исчислением предикатов'''.
}}
функцию <tex>f_{P^k_n}: D^k \rightarrow V</tex>.
{{Определение |id=valid
|definition=
Формула в исчислении предикатов общезначима, если она истинна на любом предметном множестве <tex>D</tex>, при любой оценке предикатов, и при любых оценках свободных индивидных переменных.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть имеется некоторое исчисление предикатов с множествомаксиом $<tex>A$</tex>, и пусть дан некоторый (возможно, пустой) список <tex>\Gamma</tex> ''замкнутых'' формул исчисления предикатов. Тогда, вывод формулы <tex>\alpha</tex> в исчислении с аксиомами <tex>A \cup \Gamma</tex> мы назовем выводом из допущений <tex>\Gamma </tex>, и будем записывать это как <tex>\Gamma \vdash \alpha </tex>.
}}
