442
правки
Изменения
→Интерпретация булевых формул с кванторами как игр для двух игроков
Чтобы получить список аксиом для исчисления предикатов, возьмем все схемы аксиом исчисления высказываний и дополним их следующими двумя схемами.
Здесь <tex>x</tex> {{---}} переменная, <tex>\psi</tex> {{---}} некоторая формула, <tex>y</tex> {{---}} некоторая переменнаяформула.
Запись <tex>\psi[x := y]</tex> будет означать результат подстановки <tex>y</tex> в <tex>\psi</tex> вместо всех свободных вхождений <tex>x</tex>. Пусть <tex>y</tex> свободно для подстановки вместо <tex>x</tex>.
<tex> \forall y \exists x A(x,y) \rightarrow \exists x A (x,x) </tex>. Однако, оно ей не является.
Пример, когда нарушение свободы для подстановки приводит к противоречию: <tex>\forall{x}(\psi) \to (\psi[x := \alpha]) \\\psi := \exists a \lnot P(a) = P(b), x := b, \alpha := a \\\forall b \exists a (\lnot P(a) = P(b)) \to \exists a (\lnot P(a) = P(a)) \\</tex> Такой предикат <tex>P</tex>, очевидно, существует (если в предметном множестве больше одного элемента). Тогда <tex>\exists a (\lnot P(a) = P(a))</tex> Противоречие, следовательно, <tex>z</tex> должен быть свободен для подстановки вместо <tex>\alpha</tex>. Все аксиомы, порожденные данными схемами в новом языке, мы назовем аксиомами исчисления
предикатов.
функцию <tex>f_{P^k_n}: D^k \rightarrow V</tex>.
{{Определение |id=valid
|definition=
Формула в исчислении предикатов общезначима, если она истинна на любом предметном множестве <tex>D</tex>, при любой оценке предикатов, и при
