1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
Чтобы получить список аксиом для исчисления предикатов, возьмем все схемы аксиом исчисления высказываний и дополним их следующими двумя схемами.
Здесь <tex>x</tex> {{---}} переменная, <tex>\psi</tex> {{---}} некоторая формула, <tex>y</tex> {{---}} некоторая переменнаяформула.
Запись <tex>\psi[x := y]</tex> будет означать результат подстановки <tex>y</tex> в <tex>\psi</tex> вместо всех свободных вхождений <tex>x</tex>. Пусть <tex>y</tex> свободно для подстановки вместо <tex>x</tex>.
<tex> \forall y \exists x A(x,y) \rightarrow \exists x A (x,x) </tex>. Однако, оно ей не является.
Пример, когда нарушение свободы для подстановки приводит к противоречию: <tex>\forall{x}(\psi) \to (\psi[x := \alpha]) \\\psi := \exists a \lnot P(a) = P(b), x := b, \alpha := a \\\forall b \exists a (\lnot P(a) = P(b)) \to \exists a (\lnot P(a) = P(a)) \\</tex> Такой предикат <tex>P</tex>, очевидно, существует (если в предметном множестве больше одного элемента). Тогда <tex>\exists a (\lnot P(a) = P(a))</tex> Противоречие, следовательно, <tex>z</tex> должен быть свободен для подстановки вместо <tex>\alpha</tex>. Все аксиомы, порожденные данными схемами в новом языке, мы назовем аксиомами исчисления
предикатов.
Рассмотрим формулу <tex>A(x) \rightarrow A(x)</tex>. Легко показать, что такая
формула общезначима и доказуема. Однако, <tex>(\exists{x}A(x)) \rightarrow A(x)</tex>
не является общезначимой, если <tex>A(x)</tex> не общезначима: достаточно взять в качестве
оценки свободной переменной <tex>x</tex> то значение, на котором <tex>A(x)</tex> ложна.
Вывод из гипотез также вполне можно расширить на исчисление предикатов.
функцию <tex>f_{P^k_n}: D^k \rightarrow V</tex>.
{{Определение |id=valid
|definition=
Формула в исчислении предикатов общезначима, если она истинна на любом предметном множестве <tex>D</tex>, при любой оценке предикатов, и при любых оценках свободных индивидных переменных.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть имеется некоторое исчисление предикатов с множествомаксиом $<tex>A$</tex>, и пусть дан некоторый (возможно, пустой) список <tex>\Gamma</tex> ''замкнутых'' формул исчисления предикатов. Тогда, вывод формулы <tex>\alpha</tex> в исчислении с аксиомами <tex>A \cup \Gamma</tex> мы назовем выводом из допущений <tex>\Gamma </tex>, и будем записывать это как <tex>\Gamma \vdash \alpha </tex>.
}}
