Исчисление предикатов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
(Интерпретация булевых формул с кванторами как игр для двух игроков)
 
(не показаны 24 промежуточные версии 7 участников)
Строка 3: Строка 3:
 
[[Лекция 3 | <<]][[Лекция 5 | >>]]
 
[[Лекция 3 | <<]][[Лекция 5 | >>]]
  
test
+
==Исчисление предикатов==
 +
 +
Выберем множество истинностных значений <tex>V</tex>. Также, выберем некоторое предметное множество <tex>D</tex>.
 +
''n-местным предикатом'' мы назовем функцию из <tex>D^n</tex> в <tex>V</tex>.
 +
Как и раньше, мы ограничимся классическим множеством <tex>V</tex> -- истина и ложь, но оставляем потенциальную возможность его расширить.
 +
 
 +
Предикаты могут быть 0-местными, в этом случае это хорошо нам известные
 +
пропозициональные переменные, принимающие какие-то истинностные значения,
 +
в происхождение которых мы не вникаем.
 +
 
 +
Рассмотрим следующий известный пример: каждый человек смертен, Сократ - человек,
 +
следовательно, Сократ - смертен.
 +
Мы можем формализовать это выражение с помощью предикатов: множество <tex>D</tex> - это
 +
будет множество всех существ, <tex>S(x)</tex> - предикат "быть смертным",
 +
<tex>H(x)</tex> - предикат "быть человеком". Тогда фраза в полу-формальном виде
 +
выглядит так:
 +
Для каждого <tex>x</tex>, такого, что <tex>H(x)</tex> верно <tex>S(x)</tex>, поэтому поскольку <tex>H</tex>(Сократ),
 +
значит, что имеет место <tex>S</tex>(Сократ).
 +
 
 +
Чтобы построить новое исчисление, нам требуется указать 3 компонента: язык,
 +
аксиомы и правила вывода.
 +
 
 +
=== Язык ===
 +
 
 +
Добавим к языку исчисления высказываний новые конструкции с предикатами
 +
и получим язык исчисления предикатов. Вот расширенная грамматика:
 +
 
 +
*<выражение> ::= <импликация>
 +
*<импликация> ::= <дизъюнкция> | <дизъюнкция> <tex> \rightarrow </tex> <импликация>
 +
*<дизъюнкция> ::= <конъюнкция> | <дизъюнкция> <tex> \vee </tex>  <конъюнкция>
 +
*<конъюнкция> ::= <терм> | <конъюнкция> & <терм>
 +
*<терм>::= <предикат> | <предикат> (<аргументы>) | <tex>\exists </tex> <переменная><терм> | <tex>\forall </tex> <переменная><терм>
 +
*<аргументы> ::= <переменная>
 +
*<аргументы> ::= <переменная>,<аргументы>
 +
 
 +
 
 +
Добавились 3 новых сущности:
 +
 
 +
(a) ''индивидные'' переменные --- мы будем записывать их маленькими латинскими буквами из начала алфавита
 +
 
 +
(b) предикаты (они обобщили пропозициональные переменные)
 +
 
 +
(c) кванторы: всеобщности (<tex> \forall </tex>) и существования (<tex> \exists </tex>).
 +
 
 +
=== Аксиомы ===
 +
 
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Дана некоторая формула <tex>s</tex>. Будем говорить, что подстрока <tex>s_1</tex> строки <tex>s</tex> является подформулой, если она в точности соответствует какому-то одному нетерминалу в дереве разбора строки <tex>s</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Если в формулу входит подформула, полученная по правилам для кванторов (то есть, <tex>\forall x \alpha</tex> или <tex>\exists x \alpha</tex>), то мы будем говорить, что формула <tex>\alpha</tex> находится в области действия данного квантора по переменной <tex>x</tex>. Также, будем говорить, что любая подформула формулы <tex>\alpha</tex> находится в области действия данного квантора.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Если некоторое вхождение переменной <tex>x</tex> находится в области действия квантора по переменной <tex>x</tex>, то такое вхождение мы назовем '''связанным'''. Вхождение переменной <tex>x</tex> непосредственно рядом с квантором (<tex>\forall x \dots</tex>) мы назовем '''связывающим'''. Те вхождения переменных, которые не являются связанными или связывающими, назовем '''свободными'''. Формула, не имеющая свободных вхождений переменных, называется '''замкнутой'''.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Будем говорить, что переменная <tex>y</tex> свободна для <tex>x</tex> при подстановке в формулу <tex>\psi</tex> (или просто свободна для подстановки вместо <tex>x</tex>), если после подстановки <tex>y</tex> вместо свободных вхождений <tex>x</tex> ни одно ее вхождение не станет связанным.
 +
}}
 +
 
 +
Чтобы получить список аксиом для исчисления предикатов, возьмем все схемы аксиом исчисления высказываний и дополним их следующими двумя схемами.
 +
Здесь <tex>x</tex> {{---}} переменная, <tex>\psi</tex> {{---}} некоторая формула, <tex>y</tex> {{---}} некоторая формула.
 +
Запись <tex>\psi[x := y]</tex> будет означать результат подстановки <tex>y</tex> в <tex>\psi</tex> вместо всех свободных вхождений <tex>x</tex>. Пусть <tex>y</tex> свободно для подстановки вместо <tex>x</tex>.
 +
 
 +
(11) <tex>\forall{x}(\psi) \rightarrow (\psi[x := \alpha]) </tex>
 +
 
 +
(12) <tex>(\psi[x := \alpha]) \rightarrow \exists{x}(\psi) </tex>
 +
 
 +
Заметим, что если взять формулу <tex>\exists x A(x,y)</tex>, то по схеме аксиом (11),
 +
если игнорировать ограничение на свободу для подстановки, следующее утверждение должно быть тавтологией:
 +
<tex> \forall y \exists x A(x,y) \rightarrow \exists x A (x,x) </tex>. Однако, оно ей не является.
 +
 
 +
Пример, когда нарушение свободы для подстановки приводит к противоречию:
 +
 
 +
<tex>
 +
\forall{x}(\psi) \to (\psi[x := \alpha]) \\
 +
\psi := \exists a \lnot P(a) = P(b), x := b, \alpha := a \\
 +
\forall b \exists a (\lnot P(a) = P(b)) \to \exists a (\lnot P(a) = P(a)) \\
 +
</tex>
 +
 
 +
Такой предикат <tex>P</tex>, очевидно, существует (если в предметном множестве больше одного элемента). Тогда
 +
 
 +
<tex>
 +
\exists a (\lnot P(a) = P(a))
 +
</tex>
 +
 
 +
Противоречие, следовательно, <tex>z</tex> должен быть свободен для подстановки вместо <tex>\alpha</tex>.
 +
 
 +
Все аксиомы, порожденные  данными схемами в новом языке, мы назовем аксиомами исчисления
 +
предикатов.
 +
 
 +
=== Правила вывода ===
 +
 
 +
Пусть <tex>x</tex> не входит свободно в <tex>\phi</tex>. Тогда рассмотрим следующие дополнительные
 +
правила вывода исчисления предикатов:
 +
 
 +
<tex> \frac  {(\phi) \rightarrow (\psi)} {(\phi) \rightarrow \forall{x}(\psi)}</tex>
 +
<tex> \frac  {(\psi) \rightarrow (\phi)} {\exists{x}(\psi) \rightarrow (\phi)}</tex>
 +
 
 +
Добавив эти схемы к схеме для правила Modus ponens исчисления высказываний,
 +
мы сможем породить множество правил вывода.
 +
 
 +
 
 +
Комментарии:
 +
 
 +
<!-- По-моему, в следующем абзаце бред. // Андрей Рыбак -->
 +
 
 +
"Не входит свободно" - это также важный вопрос.
 +
Рассмотрим формулу <tex>A(x) \rightarrow A(x)</tex>. Легко показать, что такая
 +
формула общезначима и доказуема. Однако, <tex>(\exists{x}A(x)) \rightarrow A(x)</tex>
 +
не является общезначимой, если <tex>A(x)</tex> не общезначима: достаточно взять в качестве
 +
оценки свободной переменной <tex>x</tex> то значение, на котором <tex>A(x)</tex> ложна.
 +
Вывод из гипотез также вполне можно расширить на исчисление предикатов.
 +
 
 +
=== Итог ===
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Формальная система, составленная из указанного языка, множества аксиом и множества правил вывода, называется '''исчислением предикатов'''.
 +
}}
 +
 
 +
Для задания оценки для выражения в исчислении предикатов необходимо
 +
вместо оценки для переменных <tex>f_P</tex> в исчислении высказываний ввести
 +
оценку для предикатов: для каждого <tex>k</tex>-местного предиката <tex>P^k_n</tex> определить
 +
функцию <tex>f_{P^k_n}: D^k \rightarrow V</tex>.
 +
 
 +
{{Определение
 +
|id=valid
 +
|definition=
 +
Формула в исчислении предикатов общезначима, если она истинна на любом предметном множестве <tex>D</tex>, при любой оценке предикатов, и при
 +
любых оценках свободных индивидных переменных.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть имеется некоторое исчисление предикатов с множеством аксиом <tex>A</tex>, и пусть дан некоторый (возможно, пустой) список <tex>\Gamma</tex> ''замкнутых'' формул исчисления предикатов. Тогда, вывод формулы <tex>\alpha</tex> в исчислении с аксиомами <tex>A \cup \Gamma</tex> мы назовем выводом из допущений <tex>\Gamma </tex>, и будем записывать это как <tex>\Gamma \vdash \alpha </tex>.
 +
}}
 +
 
 +
 
 +
Обратите внимание на требование отсутствия свободных переменных в допущениях.
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Исчисление предикатов корректно, т.е. любое доказуемое утверждение общезначимо.
 +
|proof= Упражнение.
 +
}}
 +
 
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Теорема о дедукции. Если <tex>A \vdash B</tex>, то <tex> \vdash A \rightarrow B </tex>
 +
|proof=
 +
Доказательство разбором случаев. 3 старых случая те же, добавилось
 +
2 новых правила вывода.
 +
Упражнение.
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Исчисление предикатов полно.
 +
|proof=Без доказательства.
 +
}}

Текущая версия на 22:22, 10 марта 2018

<< >>

Исчисление предикатов[править]

Выберем множество истинностных значений [math]V[/math]. Также, выберем некоторое предметное множество [math]D[/math]. n-местным предикатом мы назовем функцию из [math]D^n[/math] в [math]V[/math]. Как и раньше, мы ограничимся классическим множеством [math]V[/math] -- истина и ложь, но оставляем потенциальную возможность его расширить.

Предикаты могут быть 0-местными, в этом случае это хорошо нам известные пропозициональные переменные, принимающие какие-то истинностные значения, в происхождение которых мы не вникаем.

Рассмотрим следующий известный пример: каждый человек смертен, Сократ - человек, следовательно, Сократ - смертен. Мы можем формализовать это выражение с помощью предикатов: множество [math]D[/math] - это будет множество всех существ, [math]S(x)[/math] - предикат "быть смертным", [math]H(x)[/math] - предикат "быть человеком". Тогда фраза в полу-формальном виде выглядит так: Для каждого [math]x[/math], такого, что [math]H(x)[/math] верно [math]S(x)[/math], поэтому поскольку [math]H[/math](Сократ), значит, что имеет место [math]S[/math](Сократ).

Чтобы построить новое исчисление, нам требуется указать 3 компонента: язык, аксиомы и правила вывода.

Язык[править]

Добавим к языку исчисления высказываний новые конструкции с предикатами и получим язык исчисления предикатов. Вот расширенная грамматика:

  • <выражение> ::= <импликация>
  • <импликация> ::= <дизъюнкция> | <дизъюнкция> [math] \rightarrow [/math] <импликация>
  • <дизъюнкция> ::= <конъюнкция> | <дизъюнкция> [math] \vee [/math] <конъюнкция>
  • <конъюнкция> ::= <терм> | <конъюнкция> & <терм>
  • <терм>::= <предикат> | <предикат> (<аргументы>) | [math]\exists [/math] <переменная><терм> | [math]\forall [/math] <переменная><терм>
  • <аргументы> ::= <переменная>
  • <аргументы> ::= <переменная>,<аргументы>


Добавились 3 новых сущности:

(a) индивидные переменные --- мы будем записывать их маленькими латинскими буквами из начала алфавита

(b) предикаты (они обобщили пропозициональные переменные)

(c) кванторы: всеобщности ([math] \forall [/math]) и существования ([math] \exists [/math]).

Аксиомы[править]

Определение:
Дана некоторая формула [math]s[/math]. Будем говорить, что подстрока [math]s_1[/math] строки [math]s[/math] является подформулой, если она в точности соответствует какому-то одному нетерминалу в дереве разбора строки [math]s[/math].


Определение:
Если в формулу входит подформула, полученная по правилам для кванторов (то есть, [math]\forall x \alpha[/math] или [math]\exists x \alpha[/math]), то мы будем говорить, что формула [math]\alpha[/math] находится в области действия данного квантора по переменной [math]x[/math]. Также, будем говорить, что любая подформула формулы [math]\alpha[/math] находится в области действия данного квантора.


Определение:
Если некоторое вхождение переменной [math]x[/math] находится в области действия квантора по переменной [math]x[/math], то такое вхождение мы назовем связанным. Вхождение переменной [math]x[/math] непосредственно рядом с квантором ([math]\forall x \dots[/math]) мы назовем связывающим. Те вхождения переменных, которые не являются связанными или связывающими, назовем свободными. Формула, не имеющая свободных вхождений переменных, называется замкнутой.


Определение:
Будем говорить, что переменная [math]y[/math] свободна для [math]x[/math] при подстановке в формулу [math]\psi[/math] (или просто свободна для подстановки вместо [math]x[/math]), если после подстановки [math]y[/math] вместо свободных вхождений [math]x[/math] ни одно ее вхождение не станет связанным.


Чтобы получить список аксиом для исчисления предикатов, возьмем все схемы аксиом исчисления высказываний и дополним их следующими двумя схемами. Здесь [math]x[/math] — переменная, [math]\psi[/math] — некоторая формула, [math]y[/math] — некоторая формула. Запись [math]\psi[x := y][/math] будет означать результат подстановки [math]y[/math] в [math]\psi[/math] вместо всех свободных вхождений [math]x[/math]. Пусть [math]y[/math] свободно для подстановки вместо [math]x[/math].

(11) [math]\forall{x}(\psi) \rightarrow (\psi[x := \alpha]) [/math]

(12) [math](\psi[x := \alpha]) \rightarrow \exists{x}(\psi) [/math]

Заметим, что если взять формулу [math]\exists x A(x,y)[/math], то по схеме аксиом (11), если игнорировать ограничение на свободу для подстановки, следующее утверждение должно быть тавтологией: [math] \forall y \exists x A(x,y) \rightarrow \exists x A (x,x) [/math]. Однако, оно ей не является.

Пример, когда нарушение свободы для подстановки приводит к противоречию:

[math] \forall{x}(\psi) \to (\psi[x := \alpha]) \\ \psi := \exists a \lnot P(a) = P(b), x := b, \alpha := a \\ \forall b \exists a (\lnot P(a) = P(b)) \to \exists a (\lnot P(a) = P(a)) \\ [/math]

Такой предикат [math]P[/math], очевидно, существует (если в предметном множестве больше одного элемента). Тогда

[math] \exists a (\lnot P(a) = P(a)) [/math]

Противоречие, следовательно, [math]z[/math] должен быть свободен для подстановки вместо [math]\alpha[/math].

Все аксиомы, порожденные данными схемами в новом языке, мы назовем аксиомами исчисления предикатов.

Правила вывода[править]

Пусть [math]x[/math] не входит свободно в [math]\phi[/math]. Тогда рассмотрим следующие дополнительные правила вывода исчисления предикатов:

[math] \frac {(\phi) \rightarrow (\psi)} {(\phi) \rightarrow \forall{x}(\psi)}[/math] [math] \frac {(\psi) \rightarrow (\phi)} {\exists{x}(\psi) \rightarrow (\phi)}[/math]

Добавив эти схемы к схеме для правила Modus ponens исчисления высказываний, мы сможем породить множество правил вывода.


Комментарии:


"Не входит свободно" - это также важный вопрос. Рассмотрим формулу [math]A(x) \rightarrow A(x)[/math]. Легко показать, что такая формула общезначима и доказуема. Однако, [math](\exists{x}A(x)) \rightarrow A(x)[/math] не является общезначимой, если [math]A(x)[/math] не общезначима: достаточно взять в качестве оценки свободной переменной [math]x[/math] то значение, на котором [math]A(x)[/math] ложна. Вывод из гипотез также вполне можно расширить на исчисление предикатов.

Итог[править]

Определение:
Формальная система, составленная из указанного языка, множества аксиом и множества правил вывода, называется исчислением предикатов.


Для задания оценки для выражения в исчислении предикатов необходимо вместо оценки для переменных [math]f_P[/math] в исчислении высказываний ввести оценку для предикатов: для каждого [math]k[/math]-местного предиката [math]P^k_n[/math] определить функцию [math]f_{P^k_n}: D^k \rightarrow V[/math].


Определение:
Формула в исчислении предикатов общезначима, если она истинна на любом предметном множестве [math]D[/math], при любой оценке предикатов, и при любых оценках свободных индивидных переменных.


Определение:
Пусть имеется некоторое исчисление предикатов с множеством аксиом [math]A[/math], и пусть дан некоторый (возможно, пустой) список [math]\Gamma[/math] замкнутых формул исчисления предикатов. Тогда, вывод формулы [math]\alpha[/math] в исчислении с аксиомами [math]A \cup \Gamma[/math] мы назовем выводом из допущений [math]\Gamma [/math], и будем записывать это как [math]\Gamma \vdash \alpha [/math].


Обратите внимание на требование отсутствия свободных переменных в допущениях.

Теорема:
Исчисление предикатов корректно, т.е. любое доказуемое утверждение общезначимо.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Упражнение.
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
Теорема о дедукции. Если [math]A \vdash B[/math], то [math] \vdash A \rightarrow B [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство разбором случаев. 3 старых случая те же, добавилось 2 новых правила вывода.

Упражнение.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Исчисление предикатов полно.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Без доказательства.
[math]\triangleleft[/math]