Исчисление предикатов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Коррекция аксиом)
(Интерпретация булевых формул с кванторами как игр для двух игроков)
 
Строка 171: Строка 171:
 
Исчисление предикатов полно.
 
Исчисление предикатов полно.
 
|proof=Без доказательства.
 
|proof=Без доказательства.
}}
 
===Интерпретация булевых формул с кванторами как игр для двух игроков===
 
 
'''Примечание:''' данного материала не будет на экзамене. Это перенесенный конспект из [[Теория формальных языков|Теории формальных языков]]. 
 
 
Во многих теоремах присутствуют утверждения с кванторами «для всех» и «существует». От того, в каком порядке кванторы входят в утверждение, зависит его смысл. Часто оказывается полезным представлять утверждения с кванторами как «игру», в которой участвуют два игрока — «для всех» и «существует». Есть утверждение <tex>\exists x_1 \forall x_2 \exists x_3 \dots Q x_n \Psi(x_1,\dots ,x_n)</tex>. Игроки поочередно выбирают значения параметров. Каждый игрок выбирает значение в зависимости от предыдущих ходов. Цель игрока «существует» делать такие ходы, чтобы утверждение <tex>\exists x_1 \forall x_2 \exists x_3 \dots Q x_n \Psi(x_1,\dots ,x_n)</tex> получилось истинным. А цель игрока «для всех» делать такие ходы, чтобы итоговое выражение получилась ложным.
 
 
{{Теорема
 
|statement=
 
Дано утверждение: <tex>P_1 = P_1(Q_1, \ldots, Q_n, \Psi(x_1,\dots ,x_n)) = Q_1 x_1 Q_2 x_2 \ldots Q_n x_n \Psi(x_1,\dots ,x_n)</tex>, где <tex>\{Q_i\}_{i=1}^{n} </tex> является чередующейся последовательностью кванторов <tex>\forall</tex> и <tex>\exists</tex>.
 
# Если утверждение <tex>P_1</tex> истинно, то у игрока «существует» есть набор ходов, используя который, он может победить.
 
# Если же утверждение <tex>P_1</tex> ложно, то у игрока «для всех» есть набор ходов, используя который, он может победить.
 
|proof=
 
# Выражение <tex>P</tex> истинно. Провернём доказательство по индукции.
 
#* '''База:''' в <tex>P_1</tex> один квантор.
 
#*: Если единственный квантор {{---}} «любой», то какой бы параметр не поставил игрок «для всех» утверждение будет истинно по условию теоремы.
 
#*: Если единственный квантор {{---}} «существует», то, по условию, есть такой параметр, что утверждение будет истинно. Его и подставит игрок «существует», после чего сразу победит.
 
#* '''Переход:''' теорема верна, когда утверждение <tex>P_1</tex> содержит не более <tex>n-1</tex> квантора, докажем, что она верна и для утверждений, содержащих <tex>n</tex> кванторов.
 
#*: Пусть первый квантор «существует», тогда <tex>P_1 = \exists x_1 P_2</tex>, где <tex>P_2 = P_2(Q_2, \ldots, Q_n, \Psi(x_1,\dots ,x_n)_{x_1=const})</tex>. По условию теоремы найдётся такой параметр <tex>x_1 = x_{1_0}</tex>, что <tex>P_1</tex> истинно. Но выражение <tex>P_2</tex> истинно и содержит <tex>n-1</tex> квантор, значит, для <tex>P_2</tex> есть набор ходов игрока «существует», при котором он выигрывает. С выбранным <tex>x_1 = x_{1_0}</tex> и полученным набором ходов мы получаем выигрышную стратегию.
 
#*: Пусть теперь первый квантор «для всех», тогда <tex>P_1 = \forall x_1 \exists x_2 P_3</tex>, где <tex>P_3 = P_3(Q_3, \ldots, Q_n, \Psi(x_1, x_2, \dots ,x_n)_{x_1=const, x_2=const})</tex>. По условию теоремы для любого параметра <tex>x_1</tex> найдётся такой параметр <tex>x_2 = x_{2_0}</tex>, что <tex>P_1</tex> истинно. Но утверждение <tex>P_3</tex> истинно и содержит <tex>n-2</tex> квантора, значит, для <tex>P_3</tex> есть набор ходов игрока «существует», при котором он выигрывает. С выбранным <tex>x_2 = x_{2_0}</tex> и полученным набором ходов мы получим выигрышную стратегию.
 
# Доказательство существования выигрышной стратегии игрока «для всех» при ложном выражении <tex>\Psi</tex> аналогично.
 
 
}}
 
}}

Текущая версия на 22:22, 10 марта 2018

<< >>

Исчисление предикатов[править]

Выберем множество истинностных значений [math]V[/math]. Также, выберем некоторое предметное множество [math]D[/math]. n-местным предикатом мы назовем функцию из [math]D^n[/math] в [math]V[/math]. Как и раньше, мы ограничимся классическим множеством [math]V[/math] -- истина и ложь, но оставляем потенциальную возможность его расширить.

Предикаты могут быть 0-местными, в этом случае это хорошо нам известные пропозициональные переменные, принимающие какие-то истинностные значения, в происхождение которых мы не вникаем.

Рассмотрим следующий известный пример: каждый человек смертен, Сократ - человек, следовательно, Сократ - смертен. Мы можем формализовать это выражение с помощью предикатов: множество [math]D[/math] - это будет множество всех существ, [math]S(x)[/math] - предикат "быть смертным", [math]H(x)[/math] - предикат "быть человеком". Тогда фраза в полу-формальном виде выглядит так: Для каждого [math]x[/math], такого, что [math]H(x)[/math] верно [math]S(x)[/math], поэтому поскольку [math]H[/math](Сократ), значит, что имеет место [math]S[/math](Сократ).

Чтобы построить новое исчисление, нам требуется указать 3 компонента: язык, аксиомы и правила вывода.

Язык[править]

Добавим к языку исчисления высказываний новые конструкции с предикатами и получим язык исчисления предикатов. Вот расширенная грамматика:

  • <выражение> ::= <импликация>
  • <импликация> ::= <дизъюнкция> | <дизъюнкция> [math] \rightarrow [/math] <импликация>
  • <дизъюнкция> ::= <конъюнкция> | <дизъюнкция> [math] \vee [/math] <конъюнкция>
  • <конъюнкция> ::= <терм> | <конъюнкция> & <терм>
  • <терм>::= <предикат> | <предикат> (<аргументы>) | [math]\exists [/math] <переменная><терм> | [math]\forall [/math] <переменная><терм>
  • <аргументы> ::= <переменная>
  • <аргументы> ::= <переменная>,<аргументы>


Добавились 3 новых сущности:

(a) индивидные переменные --- мы будем записывать их маленькими латинскими буквами из начала алфавита

(b) предикаты (они обобщили пропозициональные переменные)

(c) кванторы: всеобщности ([math] \forall [/math]) и существования ([math] \exists [/math]).

Аксиомы[править]

Определение:
Дана некоторая формула [math]s[/math]. Будем говорить, что подстрока [math]s_1[/math] строки [math]s[/math] является подформулой, если она в точности соответствует какому-то одному нетерминалу в дереве разбора строки [math]s[/math].


Определение:
Если в формулу входит подформула, полученная по правилам для кванторов (то есть, [math]\forall x \alpha[/math] или [math]\exists x \alpha[/math]), то мы будем говорить, что формула [math]\alpha[/math] находится в области действия данного квантора по переменной [math]x[/math]. Также, будем говорить, что любая подформула формулы [math]\alpha[/math] находится в области действия данного квантора.


Определение:
Если некоторое вхождение переменной [math]x[/math] находится в области действия квантора по переменной [math]x[/math], то такое вхождение мы назовем связанным. Вхождение переменной [math]x[/math] непосредственно рядом с квантором ([math]\forall x \dots[/math]) мы назовем связывающим. Те вхождения переменных, которые не являются связанными или связывающими, назовем свободными. Формула, не имеющая свободных вхождений переменных, называется замкнутой.


Определение:
Будем говорить, что переменная [math]y[/math] свободна для [math]x[/math] при подстановке в формулу [math]\psi[/math] (или просто свободна для подстановки вместо [math]x[/math]), если после подстановки [math]y[/math] вместо свободных вхождений [math]x[/math] ни одно ее вхождение не станет связанным.


Чтобы получить список аксиом для исчисления предикатов, возьмем все схемы аксиом исчисления высказываний и дополним их следующими двумя схемами. Здесь [math]x[/math] — переменная, [math]\psi[/math] — некоторая формула, [math]y[/math] — некоторая формула. Запись [math]\psi[x := y][/math] будет означать результат подстановки [math]y[/math] в [math]\psi[/math] вместо всех свободных вхождений [math]x[/math]. Пусть [math]y[/math] свободно для подстановки вместо [math]x[/math].

(11) [math]\forall{x}(\psi) \rightarrow (\psi[x := \alpha]) [/math]

(12) [math](\psi[x := \alpha]) \rightarrow \exists{x}(\psi) [/math]

Заметим, что если взять формулу [math]\exists x A(x,y)[/math], то по схеме аксиом (11), если игнорировать ограничение на свободу для подстановки, следующее утверждение должно быть тавтологией: [math] \forall y \exists x A(x,y) \rightarrow \exists x A (x,x) [/math]. Однако, оно ей не является.

Пример, когда нарушение свободы для подстановки приводит к противоречию:

[math] \forall{x}(\psi) \to (\psi[x := \alpha]) \\ \psi := \exists a \lnot P(a) = P(b), x := b, \alpha := a \\ \forall b \exists a (\lnot P(a) = P(b)) \to \exists a (\lnot P(a) = P(a)) \\ [/math]

Такой предикат [math]P[/math], очевидно, существует (если в предметном множестве больше одного элемента). Тогда

[math] \exists a (\lnot P(a) = P(a)) [/math]

Противоречие, следовательно, [math]z[/math] должен быть свободен для подстановки вместо [math]\alpha[/math].

Все аксиомы, порожденные данными схемами в новом языке, мы назовем аксиомами исчисления предикатов.

Правила вывода[править]

Пусть [math]x[/math] не входит свободно в [math]\phi[/math]. Тогда рассмотрим следующие дополнительные правила вывода исчисления предикатов:

[math] \frac {(\phi) \rightarrow (\psi)} {(\phi) \rightarrow \forall{x}(\psi)}[/math] [math] \frac {(\psi) \rightarrow (\phi)} {\exists{x}(\psi) \rightarrow (\phi)}[/math]

Добавив эти схемы к схеме для правила Modus ponens исчисления высказываний, мы сможем породить множество правил вывода.


Комментарии:


"Не входит свободно" - это также важный вопрос. Рассмотрим формулу [math]A(x) \rightarrow A(x)[/math]. Легко показать, что такая формула общезначима и доказуема. Однако, [math](\exists{x}A(x)) \rightarrow A(x)[/math] не является общезначимой, если [math]A(x)[/math] не общезначима: достаточно взять в качестве оценки свободной переменной [math]x[/math] то значение, на котором [math]A(x)[/math] ложна. Вывод из гипотез также вполне можно расширить на исчисление предикатов.

Итог[править]

Определение:
Формальная система, составленная из указанного языка, множества аксиом и множества правил вывода, называется исчислением предикатов.


Для задания оценки для выражения в исчислении предикатов необходимо вместо оценки для переменных [math]f_P[/math] в исчислении высказываний ввести оценку для предикатов: для каждого [math]k[/math]-местного предиката [math]P^k_n[/math] определить функцию [math]f_{P^k_n}: D^k \rightarrow V[/math].


Определение:
Формула в исчислении предикатов общезначима, если она истинна на любом предметном множестве [math]D[/math], при любой оценке предикатов, и при любых оценках свободных индивидных переменных.


Определение:
Пусть имеется некоторое исчисление предикатов с множеством аксиом [math]A[/math], и пусть дан некоторый (возможно, пустой) список [math]\Gamma[/math] замкнутых формул исчисления предикатов. Тогда, вывод формулы [math]\alpha[/math] в исчислении с аксиомами [math]A \cup \Gamma[/math] мы назовем выводом из допущений [math]\Gamma [/math], и будем записывать это как [math]\Gamma \vdash \alpha [/math].


Обратите внимание на требование отсутствия свободных переменных в допущениях.

Теорема:
Исчисление предикатов корректно, т.е. любое доказуемое утверждение общезначимо.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Упражнение.
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
Теорема о дедукции. Если [math]A \vdash B[/math], то [math] \vdash A \rightarrow B [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство разбором случаев. 3 старых случая те же, добавилось 2 новых правила вывода.

Упражнение.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Исчисление предикатов полно.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Без доказательства.
[math]\triangleleft[/math]