КНФ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(КНФ)
(СКНФ)
Строка 19: Строка 19:
 
|definition =
 
|definition =
 
СКНФ (Совершенная Конъюнктивная Нормальная Форма)''' — это такая КНФ, которая удовлетворяет условиям:
 
СКНФ (Совершенная Конъюнктивная Нормальная Форма)''' — это такая КНФ, которая удовлетворяет условиям:
* в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций
+
* в ней нет одинаковых простых дизъюнкций
* в каждой дизъюнкции нет одинаковых переменных
+
* каждая простая дизъюнкция полная
* каждая элементарная дизъюнкция содержит каждый из аргументов функции.
 
 
}}
 
}}
 
Пример СКНФ:
 
Пример СКНФ:
<tex>f(x,y,z) = (x \lor \overline{y} \lor z) \land (x\lor y \lor \overline{z})</tex>
+
<tex>f(x,y,z) = (x \lor \neg{y} \lor z) \land (x\lor y \lor \neg{z})</tex>
  
  
Строка 32: Строка 31:
 
Для любой булевой функции <tex>f(\vec{x})</tex>, не равной тождественной единице, существует СКНФ, ее задающая.
 
Для любой булевой функции <tex>f(\vec{x})</tex>, не равной тождественной единице, существует СКНФ, ее задающая.
 
|proof =  
 
|proof =  
Поскольку инверсия функции <tex>\overline{f}(\vec x)</tex> равна единице на тех наборах, на которых <tex>f(\vec x)</tex> равна нулю, то СДНФ для <tex>\overline{f}(\vec x)</tex> можно записать следующим образом:
+
Поскольку инверсия функции <tex>\neg{f}(\vec x)</tex> равна единице на тех наборах, на которых <tex>f(\vec x)</tex> равна нулю, то СДНФ для <tex>\neg{f}(\vec x)</tex> можно записать следующим образом:
<tex> \overline{f}(\vec x) = \bigvee\limits_{f(x^{\sigma_{1}}, x^{\sigma_{2}}, ... ,x^{\sigma_{n}}) = 0} (x_{1}^{\sigma_{1}} \wedge x_{2}^{\sigma_{2}} \wedge ... \wedge x_{n}^{\sigma_{n}}) </tex>, где <tex> \sigma_{i} </tex> обозначает наличие или отсутствие отрицание при <tex> x_{i} </tex>
+
<tex>\neg{f}(\vec x) = \bigvee\limits_{f(x^{\sigma_{1}}, x^{\sigma_{2}}, ... ,x^{\sigma_{n}}) = 0} (x_{1}^{\sigma_{1}} \wedge x_{2}^{\sigma_{2}} \wedge ... \wedge x_{n}^{\sigma_{n}}) </tex>, где <tex> \sigma_{i} </tex> обозначает наличие или отсутствие отрицание при <tex> x_{i} </tex>
  
 
Найдём инверсию левой и правой части выражения:
 
Найдём инверсию левой и правой части выражения:
<tex> f(\vec x) = \overline{\bigvee\limits_{f(x^{\sigma_{1}}, x^{\sigma_{2}}, ... ,x^{\sigma_{n}}) = 0} (x_{1}^{\sigma_{1}} \wedge x_{2}^{\sigma_{2}} \wedge ... \wedge x_{n}^{\sigma_{n}})} </tex>
+
<tex> f(\vec x) = \neg{\bigvee\limits_{f(x^{\sigma_{1}}, x^{\sigma_{2}}, ... ,x^{\sigma_{n}}) = 0} (x_{1}^{\sigma_{1}} \wedge x_{2}^{\sigma_{2}} \wedge ... \wedge x_{n}^{\sigma_{n}})} </tex>
  
 
Применяя дважды к полученному в правой части выражению правило де Моргана, получаем:
 
Применяя дважды к полученному в правой части выражению правило де Моргана, получаем:
<tex> f(\vec x) = \bigwedge\limits_{f(x^{\sigma_{1}}, x^{\sigma_{2}}, ... ,x^{\sigma_{n}}) = 0} ( \overline{x_{1}^{\sigma_{1}}} \vee \overline{x_{2}^{\sigma_{2}}} \vee ... \vee \overline{x_{n}^{\sigma_{n}}} ) </tex>
+
<tex> f(\vec x) = \bigwedge\limits_{f(x^{\sigma_{1}}, x^{\sigma_{2}}, ... ,x^{\sigma_{n}}) = 0} (\neg{x_{1}^{\sigma_{1}}} \vee \neg{x_{2}^{\sigma_{2}}} \vee ... \vee \neg{x_{n}^{\sigma_{n}}} ) </tex>
  
 
Последнее выражение и является СКНФ. Так как СКНФ получена из СДНФ, которая может быть посторена для любой функции, то теорема доказана.
 
Последнее выражение и является СКНФ. Так как СКНФ получена из СДНФ, которая может быть посторена для любой функции, то теорема доказана.

Версия 20:09, 12 марта 2012

КНФ

Определение:
Простой дизъюнкцией или дизъюнктом называется дизъюнкция одной или нескольких переменных или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.

Простая дизъюнкция

  • полная, если в неё каждая переменная (или её отрицание) входит ровно 1 раз;
  • монотонная, если она не содержит отрицаний переменных.


Определение:
КНФ (Конъюнктивная Нормальная Форма) — нормальная форма, в которой булева функция имеет вид конъюнкции нескольких простых дизъюнктов.

Пример КНФ: [math]f(x,y) = (x \lor y) \land (y \lor \neg{z})[/math]

СКНФ

Определение:
СКНФ (Совершенная Конъюнктивная Нормальная Форма) — это такая КНФ, которая удовлетворяет условиям:
  • в ней нет одинаковых простых дизъюнкций
  • каждая простая дизъюнкция полная

Пример СКНФ: [math]f(x,y,z) = (x \lor \neg{y} \lor z) \land (x\lor y \lor \neg{z})[/math]


Теорема:
Для любой булевой функции [math]f(\vec{x})[/math], не равной тождественной единице, существует СКНФ, ее задающая.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Поскольку инверсия функции [math]\neg{f}(\vec x)[/math] равна единице на тех наборах, на которых [math]f(\vec x)[/math] равна нулю, то СДНФ для [math]\neg{f}(\vec x)[/math] можно записать следующим образом: [math]\neg{f}(\vec x) = \bigvee\limits_{f(x^{\sigma_{1}}, x^{\sigma_{2}}, ... ,x^{\sigma_{n}}) = 0} (x_{1}^{\sigma_{1}} \wedge x_{2}^{\sigma_{2}} \wedge ... \wedge x_{n}^{\sigma_{n}}) [/math], где [math] \sigma_{i} [/math] обозначает наличие или отсутствие отрицание при [math] x_{i} [/math]

Найдём инверсию левой и правой части выражения: [math] f(\vec x) = \neg{\bigvee\limits_{f(x^{\sigma_{1}}, x^{\sigma_{2}}, ... ,x^{\sigma_{n}}) = 0} (x_{1}^{\sigma_{1}} \wedge x_{2}^{\sigma_{2}} \wedge ... \wedge x_{n}^{\sigma_{n}})} [/math]

Применяя дважды к полученному в правой части выражению правило де Моргана, получаем: [math] f(\vec x) = \bigwedge\limits_{f(x^{\sigma_{1}}, x^{\sigma_{2}}, ... ,x^{\sigma_{n}}) = 0} (\neg{x_{1}^{\sigma_{1}}} \vee \neg{x_{2}^{\sigma_{2}}} \vee ... \vee \neg{x_{n}^{\sigma_{n}}} ) [/math]

Последнее выражение и является СКНФ. Так как СКНФ получена из СДНФ, которая может быть посторена для любой функции, то теорема доказана.
[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм построения СКНФ по таблице истинности

  1. В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно 0.
  2. Для каждого отмеченного набора записываем конъюнкцию всех переменных по следующему правилу: если значение некоторой переменной есть 0, то в дизъюнкцию включаем саму переменную, иначе ее отрицание.
  3. Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.

Пример построения СКНФ

1. В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно 0.

x y z [math] \langle x,y,z \rangle [/math]
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1

2. Для каждого отмеченного набора записываем конъюнкцию всех переменных по следующему правилу : если значение некоторой переменной есть 0, то в дизъюнкцию включаем саму переменную, иначе ее отрицание.

x y z [math] \langle x,y,z \rangle [/math]
0 0 0 0 [math]( x \lor y \lor z)[/math]
0 0 1 0 [math]( x \lor y \lor \overline{z})[/math]
0 1 0 0 [math](x \lor \overline{y} \lor z)[/math]
0 1 1 1
1 0 0 0 [math](\overline{x} \lor y \lor z)[/math]
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1

3. Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.

[math] \langle x,y,z \rangle = ( x \lor y \lor z) \land (\overline{x} \lor y \lor z) \land (x \lor \overline{y} \lor z) \land ( x \lor y \lor \overline{z})[/math]

Примеры СКНФ для некоторых функций

Стрелка Пирса: [math] x \downarrow y = (\overline{x} \lor y) \land (x \lor \overline{y}) \land (\overline{x} \lor \overline{y})[/math]

Исключающее или: [math] x \oplus y \oplus z = (\neg {x} \lor \neg {y} \lor z) \land (\neg {x} \lor y \lor \neg {z}) \land (x \lor \neg {y} \lor \neg {z}) \land (x \lor y \lor z)[/math]

Ссылки