Карлукова M32342 временная статья — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «== Теорема о связи этих понятий == {{Теорема |id=th_main. |statement=Последовательность <tex>a_0, a_1, \ldots, a…»)
 
(Полностью удалено содержимое страницы)
 
(не показано 67 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
== Теорема о связи этих понятий ==
 
  
{{Теорема
 
|id=th_main.
 
|statement=Последовательность <tex>a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots </tex> является линейной рекуррентной последовательностью с <tex>k</tex> первыми заданными членами <tex>\Leftrightarrow</tex> её производящая функция <tex>A(t)</tex> является дробно-рациональной, причём представимой в виде <tex>A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, <tex>deg(Q) = k</tex>, <tex>deg(P) < k</tex>
 
|proof=
 
 
<tex>\Leftarrow</tex>
 
 
Пусть <tex>A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, <tex> deg(Q) = k</tex>, <tex> deg(P) < k</tex>. Тогда имеем <tex>P(t) = A(t) \cdot Q(t)</tex>.
 
 
<!---- Пусть <tex>Q(t)</tex> имеет вид <tex>Q(t) = 1 - q_1 \cdot t - q_2 \cdot t^2 - \ldots - q_k \cdot t^k</tex>. --->
 
 
Так как <tex>deg(P) < k</tex>, то для <tex>\forall n \geqslant k </tex> выполнено <tex>p_n = 0</tex>. Расписывая <tex>p_n</tex> по определению [[Арифметические действия с формальными степенными рядами#def_mul| произведения степенных рядов]], получаем <tex>\sum\limits_{i = 0}^n a_i \cdot q_{n - i} = 0</tex>
 
 
Раскрывая сумму, получаем <tex>a_n \cdot q_0 + a_{n - 1} \cdot q_1 + \ldots + a_{n - k} \cdot q_k + a_{n - k - 1} \cdot q_{k+1} + a_{n - k - 2} \cdot q_{k+2} + \ldots + a_{0} \cdot 0 = 0</tex>. ///// <tex>deg(Q) = k</tex>.
 
 
Так как <tex>q_0 = 1</tex>, а <tex>q_i = -c_i</tex>, то <tex>a_n - c_1 \cdot a_{n - 1} - \ldots -c_k \cdot a_{n - k} = 0</tex>
 
 
Тогда <tex>a_n = c_1 \cdot a_{n - 1} + \ldots + c_k \cdot a_{n - k}</tex>
 
 
<tex>\Rightarrow</tex>
 
 
Напишем друг под другом несколько производящих функций:
 
 
<tex>A(t) = a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots + a_k \cdot t^k + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldots</tex>
 
 
<tex>-c_1 \cdot t \cdot A(t) = 0 - c_1 \cdot a_0 \cdot t - c_1 \cdot a_1 \cdot t^2 - \ldots - c_1 \cdot a_{k - 1} \cdot t^k - \ldots - c_1 \cdot a_{n - 1} \cdot t^n - \ldots</tex>
 
 
<tex>-c_2 \cdot t^2 \cdot A(t) = 0 + 0 - c_2 \cdot a_0 \cdot t^2 - \ldots - c_2 \cdot a_{k - 2} \cdot t^k - \ldots - c_2 \cdot a_{n - 2} \cdot t^n - \ldots</tex>
 
 
<tex>\cdots</tex>
 
 
<tex>-c_k \cdot t^k \cdot A(t) = 0 + 0 + 0 + \ldots - c_k \cdot a_0 \cdot t^k - \ldots - c_k \cdot a_{n - k} \cdot t^n + \ldots</tex>
 
 
Почленно складывая эти формальные степенные ряды, получаем
 
 
<tex>A(t) \cdot (1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k) = a_0 + (a_1 - c_1 \cdot a_0) \cdot t + (a_2 - c_1 \cdot a_1 - c_2 \cdot a_0) \cdot t^2 + \\ + \ldots + (a_{k - 1} - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} c_i \cdot a_{k - 1 - i}) \cdot t^{k - 1} + (a_k - \sum\limits_{i = 1}^k c_i \cdot a_{k - i}) \cdot t^k + \ldots + (a_n - \sum\limits_{i = 1}^n c_i \cdot a_{n - i}) \cdot t^n + \ldots</tex>
 
 
Так как <tex>\forall n \geqslant k: a_n = \sum\limits_{i = 1}^n c_i \cdot a_{n - i}</tex>, то все коэффициенты при степенях, начиная с <tex>k</tex>-ой включительно, обнулятся.
 
 
Тогда <tex>A(t) \cdot (1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k) = a_0 + (a_1 - c_1 \cdot a_0) \cdot t + (a_2 - c_1 \cdot a_1 - c_2 \cdot a_0) \cdot t^2 + \\ + \ldots + (a_{k - 1} - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} c_i \cdot a_{k - 1 - i}) \cdot t^{k - 1}</tex>.
 
 
Обозначим <tex>Q(t) = (1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k)</tex>,
 
 
а <tex>P(t) = a_0 + (a_1 - c_1 \cdot a_0) \cdot t + (a_2 - c_1 \cdot a_1 - c_2 \cdot a_0) \cdot t^2 + \ldots + (a_{k - 1} - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} c_i \cdot a_{k - 1 - i}) \cdot t^{k - 1}</tex>
 
 
Тогда <tex>A(t) \cdot Q(t) = P(t), deg(Q) = k, deg(P) < k</tex>
 
}}
 

Текущая версия на 21:22, 19 июня 2020