1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
== Основные определения ==
<tex>\mathbb{R}</tex>. Пусть <tex>\Phi(x,y)</tex> - симметричная билинейная форма, т.е. <tex>\Phi(x,y) = \sum_sum\limits_{i,k=1}^n \varphi_{ik}\cdot \xi^k\cdot \eta^k</tex> (1), причем: <tex>\Phi=||\varphi||:\varphi_{ik}=\varphi_{ki}</tex> (т.е. <tex>\Phi=\Phi^T</tex>, т.е. симметрична)
<tex>\mathbb{C}</tex>. Пусть <tex>\Phi(x,y)</tex> - эрмитова форма, т.е. <tex>\Phi(x,y) = \displaystyle \sum_{i,k=1}^n \varphi_{ik}\cdot \xi^i\cdot \overline\eta^k</tex> (2), где <tex>\Phi=||\varphi_{ik}||:\varphi_{ik}=\overline{\varphi_{ki}}</tex> (т.е. <tex>\Phi=\overline{\Phi^T}=\Phi^*</tex>, т.е. эрмитова)
{{Определение
<tex>\Phi(x,x) = 2(\xi^1)^2+4\xi^1\xi^2-(\xi^3)^2</tex>
<tex>\Phi=||\{2,2,0\},\{2,0,0\},\{0,0,1\}||</tex>- матрица по строкам
Преобразование матрицы квадратичной формы при замене базиса.
== Приведение к каноническому виду унитарным преобразованием ==
Рассмотрим (*) <tex>\Phi = T^T\cdot \Phi \cdot \overline{T}</tex> (для С)
Рассмотрим <tex>\Phi = \Phi^* = \overline{\Phi^T} в \{e_1, e_2, ..., e_n\}</tex>
1) <tex>\sigma_{\Phi} \in \mathcal{R}</tex>
2) из собственных вектором <tex>\Phi</tex> можно сделать ортонормированный базис <tex>\mathcal{E}</tex>
Пусть <tex>T</tex> - унитарная <tex>T^{-1} = \overline{T^T} => \Rightarrow T^T = \overline{T^{-1}} = (\overline{T})^{-1}</tex>
<tex>\widehat{\Phi} = (\overline{T})^{-1} \cdot \Phi \cdot T</tex>
== Закон инерции квадратичной формы ==
{{Теорема
|statement=
Каким бы способом квадратичная форма не была бы приведена, количество положительных, отрицательных и нулевых <tex>\lambda</tex> постоянно.
индексы инерции:
<tex>n_{+}</tex>
<tex>n_{-}</tex>
<tex>n_{0}</tex>
<tex>(n_{+}, n_{-}, n_{0})</tex> - сигнатура квадратичной формы.
|proof=
Пусть <tex>\Phi(x,x) = \lambda_1|\xi^1|^2+...+\lambda_p|\xi^p|^2+ \lambda_{p+1}|\xi^{p+1}|^2 +...+\lambda_{p+q}|\xi^{p+q}|^2</tex>
<tex>\Phi(x,x) = \widehat{\lambda}_{1}|\xi^{1}|^2 +...+\widehat{\lambda}_{\widehat{p}}|\xi^{\widehat{p}}|^2+\widehat{\lambda}_{\widehat{p}+1}|\xi^{\widehat{p}+1}|^2+...+\widehat{\lambda}_{\widehat{p}+\widehat{q}}|\xi^{\widehat{p}+\widehat{q}}|^2</tex>
<tex>p+q\leqslant dim E=n</tex>
<tex>\lambda_i > 0</tex> для <tex>i=1,...,p</tex>
<tex>\lambda_j < 0</tex> для <tex>j=p+1,p+q</tex>
<tex>\widehat{p}+\widehat{q} \leqslant n</tex>
<tex>\widehat{\lambda_i} > 0</tex> для <tex>i=1,...,\widehat{p}</tex>
<tex>\widehat{\lambda_j} < 0</tex> для <tex>j=\widehat{p}+1, \widehat{p}+\widehat{q}</tex>
Надо: <tex>p=\widehat{p}</tex> (?), <tex>q=\widehat{q}</tex> (?)
<tex><- U</tex>: 1) Пусть <tex>p > \widehat{p}</tex>; п.п. <tex>L = </tex>л.о. <tex>\{e_1,...,e_p\}</tex>, <tex>dim L=p</tex>
<tex>\widehat{L} = </tex> л.о. <tex>\{\widehat{e}_{\widehat{p}+1},...,\widehat{e}_{\widehat{p}+\widehat{q}},...,\widehat{e}_n\}</tex>
<tex>\dim \widehat{L}=n-\widehat{p}</tex>
<tex>\dim L + \dim \widehat{L} = (p-\widehat{p})+n > n</tex>
<tex>\dim L + dim \widehat{L} = dim (L+\widehat{L}) + dim (L \cap \widehat{L})</tex>
<tex>\dim L + dim \widehat{L} > n</tex>
<tex>dim (L+\widehat{L}) \geqslant n</tex>
<tex>dim (L \cap \widehat{L}) \geqslant 1</tex>
<tex>L per \widehat{L} \ne \{Ox\} \Rightarrow \exists z \in L, z \in \widehat{L} (z \ne 0)</tex>
<tex>\Phi(z,z) > 0, \Phi(z,z) \leqslant 0 \Rightarrow p>\widehat{p} и p < \widehat{p}</tex> - неверно <tex>\Rightarrow</tex> <tex>p\leqslant\widehat{p}</tex> и <tex>p\geqslant\widehat{p} \Rightarrow p = \widehat{p}</tex>, ч.т.д.
}}
{{Теорема
|statement=
Для того, чтобы квадратичная форма была бы положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы её <tex>n_+=n</tex> (размерность пространства)
}}
== Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\Phi(x,x)</tex>,<tex>\Psi(x,x)</tex> - квадратичные формы в <tex>\mathbb{C}</tex>
Пусть <tex>\Psi(x,x)</tex> - положительно определена.
Тогда <tex>\exists</tex> ортонормированный базис пространства <tex>E</tex>, в котором обе формы имеют канонический вид.
|proof=
1) Рассмотрим в <tex>\Psi(x,x) <-></tex> эрмитовы <tex>\Psi(x,y)</tex> - это м.б. <tex>< ; >_{Y}</tex> в <tex>E</tex>
Стало <tex><x,y>_{\Psi} = \Psi(x,y)</tex>
Пусть <tex>{e_i}_{i=1}^n</tex> - ортонормированный базис <tex>\Phi, \Psi</tex>
<tex><\mathcal{U}x,\mathcal{U}y>=<x,y></tex>
<tex><e_i^{'},e_j^{'}>=<\widehat{e}_i,\widehat{e}_j>=\delta_{ij}</tex>
<tex>\widehat{\Psi}(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n 1 \cdot |\widehat{\xi_i}|^2</tex>
<tex>\widehat{\Phi}(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot |\widehat{\xi_i}|^2</tex>
Рассмотрим <tex>\det (\Phi-\lambda \cdot \Psi) = 0 -> ... -> \{\lambda_1,...,\lambda_n\}</tex>
<tex>\det (\Phi^{'}-\lambda \cdot E) = 0</tex>
<tex>\det (\Phi - \lambda \cdot \Psi) = det (T \cdot (\Phi^{'}-\lambda \cdot E) \cdot \overline{T^T})=0</tex>
<tex>\det T \ne 0</tex>, <tex>\det \overline{T^T} \ne 0</tex>
}}
