20
правок
Изменения
Нет описания правки
|about=Квадратичный закон взаимности
|statement=
Для любых простых нечетных <tex>p </tex> и <tex>q </tex> справедливо:
<tex>\left(\cfrac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}\cdot\left(\cfrac{q}{p}\right)</tex>
}}
==Символ Якоби==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>n\ ---</tex> нечетное, больше единицы и <tex>n=p_1\cdots p_s</tex>, где <tex>p_1,\cdots,p_s\ ---</tex> простые числа. Тогда символ Якоби <tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)</tex> определяется следующим равенством:
<tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{p_1}\right)\times\cdots\times\left(\cfrac{a}{p_s}\right)</tex>.
Символ Якоби является обобщением символа Лежандра, а символ Лежандра является частным случаем символа Якоби.
}}
===Свойства символа Якоби===
Свойства символа Якоби прямо вытекают из соответствующих свойств символа Лежандра. Их доказательство оставляется читателю в качестве самостоятельного упражнения.
====Утверждение 1====
<tex>a_1\equiv a \pmod n\Rightarrow\left(\cfrac{a_1}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{n}\right)</tex>
====Утверждение 2====
<tex>\left(\cfrac{ab}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{n}\right)\left(\cfrac{b}{n}\right)</tex>
====Утверждение 3====
НОД<tex>(a,n)=1\Rightarrow\left(\cfrac{a^2 b}{n}\right)=\left(\cfrac{b}{n}\right)</tex>
====Утверждение 4====
<tex>\left(\cfrac{1}{n}\right)=1</tex>
====Утверждение 5====
<tex>\left(\cfrac{-1}{n}\right)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}</tex>
''Доказательство''
Рассмотрим нечетные <tex>n</tex> и <tex>m</tex>:
<tex>0\equiv(n-1)(m-1)\pmod 4\Rightarrow n-1+m-1=nm-1\pmod 4\Rightarrow \cfrac{n-1}{2}+~\cfrac{m-1}{2}\equiv~\cfrac{nm-1}{2}\pmod 4\Rightarrow\cfrac{p_1-1}{2}+\cdots+\cfrac{p_s-1}{2}\equiv\cfrac{p_1p_2\cdots p_s-1}{2}\pmod 2</tex>
Так как <tex>\left(\cfrac{1}{n}\right)=\left(\cfrac{1}{p_1}\right)\times\cdots\times\left(\cfrac{1}{p_s}\right)=(-1)^{\frac{p_1-1}{2}+\cdots\frac{p_s-1}{2}}</tex>, получаем: <tex>(-1)^{\frac{p_1-1}{2}+\cdots\frac{p_s-1}{2}}=(-1)^{\frac{p_1p_2\cdots p_s-1}{2}}=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\ \triangleleft</tex>
====Утверждение 6====
<tex>\left(\cfrac{2}{n}\right)=(-1)^{\frac{n^2-1}{8}}</tex>
''Доказательство''
Аналогично предыдущему докажем, что
<tex>\cfrac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\cfrac{p_s^2-1}{8}\equiv\cfrac{(p_1p_2\cdots p_s)^2-1}{8}\pmod 2</tex>
Рассмотрим нечетные <tex>n</tex> и <tex>m</tex>:
<tex>0\equiv(n^2-1)(m^2-1)\pmod 16\Rightarrow n^2-1+m^2-1\equiv n^2m^2-1\pmod 16\Rightarrow \cfrac{n^2-1}{8}+\cfrac{m^2-1}{8}\equiv\cfrac{n^2m^2-1}{8}\pmod 2\Rightarrow\cfrac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\cfrac{p_s^2-1}{8}\equiv\cfrac{(p_1p_2\cdots p_s-1)^2}{8}\pmod 2</tex>
Получаем <tex>(-1)^{\frac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\frac{p_s^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{(p_1p_2\cdots p_s)^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{n^2-1}{8}}\triangleleft</tex>
[[Категория: Теория чисел]]
