Квантовые алгоритмы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 6: Строка 6:
 
=== Постановка задачи ===
 
=== Постановка задачи ===
 
{{Задача
 
{{Задача
|definition=Пусть имеется функция <tex> f: A \rightarrow B </tex>, такая, что <tex>f(x)=xu\bmod 2</tex> с неизвестным <tex>u</tex>. Найти <tex>u</tex> за минимальное количество обращений к функции <tex>f</tex>.
+
|definition=Пусть имеется функция <tex> f: A \rightarrow B </tex>, такая, что <tex>f(x)=xu\pmod2</tex> с неизвестным <tex>u</tex>. Найти <tex>u</tex> за минимальное количество обращений к функции <tex>f</tex>.
 
}}
 
}}
 
'''Пример:'''
 
'''Пример:'''
[[Файл:Quantumalgorithm.Paritycheck.png|470px|thumb|right|В виде круга изображён [[Квантовые гейты|Hadamard gate]].]]
+
[[Файл:Quantumalgorithm.Paritycheck.png|470px|thumb|right|В виде круга изображён Hadamard gate.]]
 
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
 
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
 
!style="background-color:#EEE"| <tex>x</tex>
 
!style="background-color:#EEE"| <tex>x</tex>
Строка 26: Строка 26:
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''0'''
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''0'''
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1'''
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1'''
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''0'''
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1'''
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1'''
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''0'''
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''0'''
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1'''
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1'''
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''0'''
 
 
|}<tex>u = 101</tex>
 
|}<tex>u = 101</tex>
 
=== Реализация ===
 
=== Реализация ===
Для начала инициализируем начальные <tex>n</tex> кубитов состоянием ноль. Проводим их всех через [[Квантовые гейты|гейт Адамара (англ. ''Hadamard gate'')]] и получаем все возможные суперпозиции. Суперпозиции передаём в "черный ящик", который реализован в виде вентиля <tex>U_f</tex>. Сам результат опять пропускаем через [[Квантовые гейты|гейт Адамара]]. В конце измеряем результат, который будет являться искомой <tex>u</tex>.
+
Для начала инициализируем начальные <tex>n</tex> кубитов состоянием ноль. Проводим их всех через гейт Адамара (англ. ''Hadamard gate'')<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard_transform#Quantum_computing_applications Wikipedia {{---}} Hadamard gate]</ref> и получаем все возможные суперпозиции. Суперпозиции передаём в "черный ящик", который реализован в виде вентиля <tex>U_f</tex>. Сам результат опять пропускаем через гейт Адамара. В конце измеряем результат, который будет являться искомой <tex>u</tex>.
  
 
В качестве бита, который будет содержать ответ, будет использоваться суперпозиция:
 
В качестве бита, который будет содержать ответ, будет использоваться суперпозиция:
Строка 49: Строка 49:
 
|definition=Пусть имеется функция <tex> f: A \rightarrow B </tex>, такая, что <tex>f(x+S)=f(x)</tex> с неизвестным <tex>S</tex>. Найти <tex>S</tex> за минимальное количество обращений к функции <tex>f</tex>.
 
|definition=Пусть имеется функция <tex> f: A \rightarrow B </tex>, такая, что <tex>f(x+S)=f(x)</tex> с неизвестным <tex>S</tex>. Найти <tex>S</tex> за минимальное количество обращений к функции <tex>f</tex>.
 
}}
 
}}
[[Файл:Quantumalgorithm.Simonalgorithm.png|470px|thumb|right|В виде круга изображён [[Квантовые гейты|Hadamard gate]].]]
+
[[Файл:Quantumalgorithm.Simonalgorithm.png|470px|thumb|right|В виде круга изображён Hadamard gate.]]
 
'''Пример:'''
 
'''Пример:'''
 
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
 
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
Строка 98: Строка 98:
 
=== Постановка задачи ===
 
=== Постановка задачи ===
 
{{Задача
 
{{Задача
|definition=Пусть имеется функция <tex> f: \{0,\ldots,N-1\} \rightarrow S </tex>, такая, что <tex>f(x+r\bmod N)=f(x)</tex> с неизвестным периодом <tex>r</tex>. Найти <tex>r</tex> за минимальное количество обращений к функции <tex>f</tex>.
+
|definition=Пусть имеется функция <tex> f: \{0,\ldots,N-1\} \rightarrow S </tex>, такая, что <tex>f(x+r\pmod N)=f(x)</tex> с неизвестным периодом <tex>r</tex>. Найти <tex>r</tex> за минимальное количество обращений к функции <tex>f</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 114: Строка 114:
 
\end{vmatrix}</tex>, где  <tex>ω = e^{\dfrac{2πi}{N}} </tex>
 
\end{vmatrix}</tex>, где  <tex>ω = e^{\dfrac{2πi}{N}} </tex>
  
Так аналогично предыдущему алгоритму, но пользуясь '''''QFT''''', получаем результат <tex>m\dfrac{N}{r}</tex>. Выполнив данный алгоритм <tex>n</tex> раз, найдём наибольший общий делитель<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B8%D0%B9_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C Википедия {{---}} Наибольший общий делитель]</ref> от <tex>n</tex> полученных чисел, который, с некоторой вероятностью, будет искомым периодом <tex>r</tex>, при этом вероятность ошибки будет экспоненциально падать с каждой попыткой.
+
Так аналогично предыдущему алгоритму, но используя '''''QFT''''', получаем результат вида <tex>m\dfrac{N}{r}</tex>, где <tex>m</tex> - какое-то натуральное число, возникающее в ходе алгоритма, мешающее нам сразу найти период, <tex>N</tex> - модуль, <tex>r</tex> - период. Выполнив данный алгоритм <tex>n</tex> раз, найдём наибольший общий делитель<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B8%D0%B9_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C Википедия {{---}} Наибольший общий делитель]</ref> от <tex>n</tex> полученных чисел, который, с некоторой вероятностью, будет искомым периодом <tex>r</tex>, при этом вероятность ошибки будет экспоненциально падать с каждой попыткой.
  
 
''Примечание:'' Алгоритм нахождения периода используется в алгоритме Шора<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Shor%27s_algorithm Wikipedia {{---}} Shor's algorithm]</ref>, который позволяет решать задачу [[Разложение на множители (факторизация)|факторизации числа]].
 
''Примечание:'' Алгоритм нахождения периода используется в алгоритме Шора<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Shor%27s_algorithm Wikipedia {{---}} Shor's algorithm]</ref>, который позволяет решать задачу [[Разложение на множители (факторизация)|факторизации числа]].

Версия 23:11, 1 ноября 2018

Определение:
Квантовый алгоритм (англ. quantum algorithm) представляет собой классический алгоритм, который задает последовательность унитарных операций (гейтов, или вентилей) с указанием, над какими именно кубитами[1] их надо совершать.


Алгоритм проверки чётности

Постановка задачи

Задача:
Пусть имеется функция [math] f: A \rightarrow B [/math], такая, что [math]f(x)=xu\pmod2[/math] с неизвестным [math]u[/math]. Найти [math]u[/math] за минимальное количество обращений к функции [math]f[/math].

Пример:

В виде круга изображён Hadamard gate.
[math]x[/math] [math]000[/math] [math]001[/math] [math]010[/math] [math]011[/math] [math]100[/math] [math]101[/math] [math]110[/math] [math]111[/math]
[math]f(x)[/math] 0 1 0 1 0 1 0 1
[math]u = 101[/math]

Реализация

Для начала инициализируем начальные [math]n[/math] кубитов состоянием ноль. Проводим их всех через гейт Адамара (англ. Hadamard gate)[2] и получаем все возможные суперпозиции. Суперпозиции передаём в "черный ящик", который реализован в виде вентиля [math]U_f[/math]. Сам результат опять пропускаем через гейт Адамара. В конце измеряем результат, который будет являться искомой [math]u[/math].

В качестве бита, который будет содержать ответ, будет использоваться суперпозиция: [math]\mid -\bigr\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\mid 0\bigr\rangle - \mid 1\bigr\rangle)[/math]

Выразим неизвестную: [math]\mid 00\ldots0\bigr\rangle\mid -\bigr\rangle\rightarrow\dfrac{1}{2^{n/2}} \Leftrightarrow \sum_\limits{x \mathop \in \{0,1\}^n} \mid x\bigr\rangle\mid-\bigr\rangle\rightarrow\dfrac{1}{2^{n/2}} \Leftrightarrow \sum_\limits{x \mathop \in \{0,1\}^n} (-1)^{xu}\mid x\bigr\rangle\mid-\bigr\rangle\rightarrow\mid u\bigr\rangle\mid-\bigr\rangle[/math]

Сложность

Классический алгоритм: [math]O(n)[/math].

Квантовый алгоритм: [math]O(1)[/math]. Такая сложность достигается благодаря квантовым свойства[3], а конкретно параллелизму[4].

Алгоритм Саймона

Постановка задачи

Задача:
Пусть имеется функция [math] f: A \rightarrow B [/math], такая, что [math]f(x+S)=f(x)[/math] с неизвестным [math]S[/math]. Найти [math]S[/math] за минимальное количество обращений к функции [math]f[/math].
В виде круга изображён Hadamard gate.

Пример:

[math]x[/math] [math]000[/math] [math]001[/math] [math]010[/math] [math]011[/math] [math]100[/math] [math]101[/math] [math]110[/math] [math]111[/math]
[math]f(x)[/math] 000 010 001 100 010 000 100 001
[math]S = 101[/math]

Реализация

Задача похожа на задачу нахождения коллизии, так как необходимо найти два значения, при которых их выходные значения будет одинаковыми, затем вычислить между ними разницу, которая и будет ответом задачи.

Аналогично предыдущему алгоритму вычисляем результат, который будет являться некоторой строкой, дающей при скалярном умножении на искомую [math]S[/math] ноль. После [math]n - 1[/math] итерации алгоритма получим систему из [math]n - 1[/math] линейных уравнений; решив эту систему уравнений, найдём искомую [math]S[/math].

[math] \begin{cases} y_{1}^1S_1 + y_{1}^1S_2 + \dots + y_{n}^1S_n = 0,\\ y_{1}^2S_1 + y_{2}^2S_2 + \dots + y_{n}^2S_n = 0,\\ \dots\\ y_{1}^{n-1}S_1 + y_{2}^{n-1}S_2 + \dots + y_{n}^{n-1}S_n = 0.\\ \end{cases} [/math]

Особенности алгоритма:

  • для решения СЛАУ [5] необходим препроцессинг на классическом компьютере;
  • алгоритм может допускать ошибку(возможно, какие-то уравнения не будут линейно независимыми и система не будет иметь решений) с вероятностью [math] ε \lt \dfrac{1}{4} [/math] при одном цикле прохода алгоритма. Этого можно избежать, если прогнать алгоритм несколько раз, так для [math]4m[/math] раз, вероятность будет равна: [math] ε^{4m} \lt ε^{-m} [/math]. Например, при [math] m = 10 [/math] вероятность будет [math]ε^{40} \lt \dfrac{1}{20000} [/math].

Сложность

Классический алгоритм: [math]O(2^{n/2})[/math].

Квантовый алгоритм: [math]O(n)[/math].

Алгоритм нахождения периода

Постановка задачи

Задача:
Пусть имеется функция [math] f: \{0,\ldots,N-1\} \rightarrow S [/math], такая, что [math]f(x+r\pmod N)=f(x)[/math] с неизвестным периодом [math]r[/math]. Найти [math]r[/math] за минимальное количество обращений к функции [math]f[/math].


Перефразируем задачу: у нас есть периодичная функция, для которой необходимо найти её период, путём нахождения коллизии.

Quantumalgorithm.QFT.png

Реализация

[math]r[/math] и [math]N/r[/math] — периоды функций

Чтобы решить задачу, воспользуемся квантовым преобразованием Фурье[6](англ. Quantum Fourier transform; далее QFT). QFT — гейт, который реализует матрицу дискретного преобразования Фурье[7] над квантовым состоянием. Идея в следующем: есть периодическая функция с периодом [math]r[/math], после QFT, получим новую периодическую функцию с периодом [math]N/r[/math], где [math]N[/math] — модуль, с которым мы работаем.

[math] QFT_N = \dfrac{1}{\sqrt{N}}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & ω^2 & w^3 & \cdots & ω^{N-1} \\ 1 & ω^3 & ω^6 & \cdots & ω^{2(N-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & ω^{N-1} & ω^{2(N-1)} & \cdots & ω^{(N-1)(N-1)} \end{vmatrix}[/math], где [math]ω = e^{\dfrac{2πi}{N}} [/math]

Так аналогично предыдущему алгоритму, но используя QFT, получаем результат вида [math]m\dfrac{N}{r}[/math], где [math]m[/math] - какое-то натуральное число, возникающее в ходе алгоритма, мешающее нам сразу найти период, [math]N[/math] - модуль, [math]r[/math] - период. Выполнив данный алгоритм [math]n[/math] раз, найдём наибольший общий делитель[8] от [math]n[/math] полученных чисел, который, с некоторой вероятностью, будет искомым периодом [math]r[/math], при этом вероятность ошибки будет экспоненциально падать с каждой попыткой.

Примечание: Алгоритм нахождения периода используется в алгоритме Шора[9], который позволяет решать задачу факторизации числа.

Сложность

Классический алгоритм: [math]O(r)[/math].

Квантовый алгоритм: [math]O(\log N)[/math].

См.также

Примечания

Источники информации