Простейшим двухкубитным контролируемым гейтом в классическом компьютере является <tex>CNOT</tex> гейт (''Controlled NOT''). В квантовых вычислениях вводится подобный гейт, который имеет два входных кубита и два кубита на выходе. Как и в классическом случае один из пары кубитов называется контролирующим, а второй контролируемым или кубитом-мишенью. Логика выполнения операции при этом определяется следующим образом: если контролирующий кубит находится в состоянии <tex>\left |\ 1\right \rangle</tex>, тогда контролируемый кубит подвергается квантовой операции <tex>NOT</tex>, в противном случае контролируемый кубит остается без изменения.
Для пары кубитов в качестве базисных можно выбрать вектора, являющиеся прямым произведением базисных векторов отдельных кубитов:
<tex>\left |\ 0_A 0_B\right \rangle=\left |\ 0_A\right \rangle\bigotimes\left |\ 0_B\right \rangle=\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}\bigotimes\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}</tex>.
Аналогично оставшиеся <tex>3</tex> базисных состояния имеют вид:
<tex>\left |\ 0_A 1_B\right \rangle\equiv\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}</tex>;
<tex>\left |\ 1_A 0_B\right \rangle\equiv\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}</tex>;
<tex>\left |\ 1_A 1_B\right \rangle\equiv\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}</tex>.
Таким образом матрица квантового <tex>CNOT</tex>-гейта имеет вид, представленный в таблице.
===Другие используемые гейты===
