Изменения
→Китайская теорема об остатках
{{Теорема
|id=thChinese
|author=Сун-Цзы
|about=О попарно взаимно простых числах
|statement=
Пусть <tex> n = n_1 n_2 \ldots n_k </tex>, где <tex> n_i </tex> {{- --}} попарно взаимно простые числа. Рассмотрим соответствие <tex> a \rightarrow (a_1 , a_2 , \ldots , a_k) </tex>, где <tex> a_i = a(\mod \text{ }n)n_i</tex>. Такое соответствие является однозначным, для любого '''а''' <tex>a</tex> (<tex> 0 \le a \le n </tex>).
|proof=
Неконструктивное доказательство : <br>
<tex> x-y \rightarrow (0 , 0 , \ldots , 0) \Leftrightarrow (x-y) \vdots m_i </tex>, значит <tex> x \equiv y(mod \text{ } \prod n_i )</tex>. То есть разных наборов всего n. <br>
Конструктивное доказательство: <br>
Необходимо вычислить элемент <tex> a </tex> по заданным <tex> (a_1 , a_2 , \ldots , a_k) </tex>. Сначала определим величины <tex> m_i = \frac{n}{n_i}</tex>. Другими словами, <tex> m_i</tex> {{---}} произведение всех значений <tex> n_j</tex>, отличных от <tex> n_i</tex>. Затем определим <tex> c_i = m_i({m_i}^{-1} mod \text{ }n_i) </tex>. Величину <tex> a </tex> можно вычислить по формуле <tex> a \equiv (a_1c_1 + a_2c_2 + \ldots + a_kc_k)(mod \text{ } n)</tex>. Осталось показать, что это уравнение обеспечивает справедливость соотношения <tex> a \equiv a_i(mod \text{ }n_i) </tex>. Заметим, что если <tex> i \ne j</tex>, то <tex> m_j \equiv 0(mod \text{ }n_i)</tex>, откуда следует, что <tex> c_j \equiv m_j \equiv 0(mod \text{ }n_i) </tex>. Таким образом <tex> a \equiv a_ic_i(mod \text{ }n_i) </tex>.
}}
