Изменения

Пусть на <tex> E \subset X </tex> задана последовательность измеримых суммируемых функций <tex> f_n</tex>, таких, что <tex> |f_n(x)| \le \varphi(x) </tex> почти всюду, где <tex> \varphi </tex> — измеримаясуммируемая.

Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow(E) } f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:

<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f</tex>.

Из сходимости по мере <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex>, следовательно, по теореме Риса выделим Рисса, можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> f_{n_k}</tex>.

<tex> |f_{n_k}(x)| \le \varphi(x)</tex>. Устремим <tex> k </tex> к бесконечности, тогда <tex> |f(x)| \le \varphi(x)</tex>.

По определению интеграла, <tex> \forall \varepsilon > 0</tex>, можно подобрать <tex> A_\varepsilon </tex> — хорошее для <tex> \varphi: \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} \varphi d \mu < \varepsilon</tex>.

<tex> \left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| = \le \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| + \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f|</tex> <tex> \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi < 2 \varepsilon </tex> (по выбору <tex> A_\varepsilon </tex>) <tex> A_{\varepsilon} </tex> — хорошее, следовательно, <tex> \mu A_{\varepsilon} < + \infty </tex>, следовательно,<tex> |\varphi(x)| \le M </tex> на <tex> A_\varepsilon </tex>. <tex> |f_n|, |f| </tex> мажорируются <tex> \varphi \le M </tex> на <tex> A_\varepsilon </tex>. Тем самым, <tex> \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| </tex> удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, <tex> \int\limits_{{A_\varepsilon}} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>. Тогда и <tex> \int\limits_E |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, что и требовалось доказать.}} Примечание: Так как на множестве конечной меры из сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду. == Теорема Леви ==Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты:{{Теорема|author=Леви|statement=Пусть на <tex> E </tex> задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и <tex> f_n(x) \le f_{n+1}(x) </tex>. <tex> f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) </tex> — почти везде конечна на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \lim\limits_n \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex>.|proof=В силу поточечной монотонности <tex> f_n </tex>, <tex> f </tex>, как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим, поэтому все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна.

Если <tex> \int\limits_{limits_E f < + \overline {A_\varepsilon}} |infty, 0 < f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi f </tex>, то <tex> f </tex> — суммируемая мажоранта <tex> f_n < 2 \varepsilon (/tex>, и, по выбору A_\varepsilon)теореме Лебега, равенство выполняется.

A_{Если же <tex> \varepsilon} — хорошее, следовательно, int\mu A_{\varepsilon} < limits_E f = + \infty</tex>, |то для любого <tex> m \varphi(x)| in \le M на A_\varepsilonmathbb N </tex>, по определению интеграла неотрицательной функции, |f_n| существует <tex> \le exists E_m </tex> — хорошее для <tex> f: m < \varphi int\le M на A_limits_{E_m} f d \varepsilon, аналогично, fmu </tex>.

Тем самым<tex> f </tex> ограничена на <tex> E_m </tex>, мера <tex> E_m </tex> — конечна, значит, константа, которой определяется <tex> f </tex>, может рассматриваться, как суммируемая мажоранта для <tex> f_n </tex> и, по теореме Лебега, <tex> \int\limits_{E_m} f_n \to \int\limits_{A_E_m} f </tex>. Поэтому, начиная с <tex> N, m < \int\varepsilonlimits_{E_m}} |f_n - f| удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного </tex>. Но <tex> E_m \subset E, f_n \ge 0 </tex>, и по свойствам интеграла, следовательно, <tex> \int\limits_{{A_\varepsilon}E_m} f_n \rightarrow (n le \to int\infty) 0. Тогда limits_{E} f_n </tex> и <tex> m < \int\limits_E |limits_{E} f_n - f| , \rightarrow (forall n > N </tex>, <tex> m </tex> — произвольное натуральное число, следовательно, <tex> \int\limits_{E} f_n \to + \infty) 0= \int\limits_{E} f </tex>, что и требовалось доказать.

Примечание: Так как === Следствие ==={{Лемма|about=следствие|statement=Пусть <tex> u_n(x) \ge 0 </tex> и измеримы на множестве конечной меры их сходимости <tex> E </tex>, и <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n </tex> — сходится. Тогда <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) </tex> сходится почти всюду вытекает сходимость по мерена <tex> E </tex>.|proof=Все интегралы определены (неотрицательные функции). <tex> S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} u_k(x) </tex> с ростом <tex> n </tex> возрастает. Мы хотим установить, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюдучто предел <tex> S(x) \rightarrow + \infty </tex> самое большее — на нульмерном множестве.  Пусть <tex> E_1 = E(S(x) = + \infty) </tex> и <tex> \mu E_1 > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{E_1} S(x) d\mu = \infty </tex>.

Но к частичным суммам на <tex> E_1 </tex> применима теорема Леви и <tex> \int\limits_{E_1} S_n \to + \infty </tex>, при этом <tex> \int\limits_{E_1} S_n \le \int\limits_E S_n = \sum\limits_{k=1}^n \forall int\varepsilon limits_E u_k </tex> , а эта сумма имеет конечный предел. Мы пришли к противоречию, значит, <tex> \mu E_1 = 0 </tex>.}} == Теорема Фату =={{Теорема|author=Фату|statement=Пусть измеримые <tex> f_n </tex> неотрицательны на <tex> E </tex> и сходятся на <tex> E </tex> по мере к функции <tex> f </tex>. Тогда <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n </tex>.|proof=По теореме Рисса выделяем из <tex> f_n </tex> сходящуюся почти всюду подпоследовательность. <tex> f_n </tex> неотрицательна, <tex> f_{n_k} \to f </tex>, следовательно, <tex> f </tex> тоже неотрицательна почти всюду на <tex> E </tex>, интеграл в неравенстве определен. Справа <tex> sup </tex> — не уменьшая общности, можно считать, что <tex> f_n \to f </tex> почти всюду.  Пусть <tex> g_n = \min \{ f, f_n \} </tex> (<tex> g_n </tex> — поточечный минимум); <tex> g_n </tex> — измерима ( <tex> \min (x, y) = \frac{(x + y) - |x - y|}2 </tex> )  <tex> g_n \le f_n </tex>. Докажем, что <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E g_n </tex> <tex> f_n(x) \to f(x) \Rightarrow g_n(x) \to f(x) </tex> <tex> g_n \le f </tex>Рассмотрим два случая: а) <tex> \int\limits_E f < + \infty </tex>: Тогда <tex> f </tex> — суммируемая мажоранта для <tex> g_n </tex>, и по теореме Лебега <tex> \int\limits_E g_n \to \int\limits_E f </tex>, неравенство выполняется. б) <tex> \int\limits_E f = + \infty </tex>. Возьмем любое хорошее <tex> E' </tex> для <tex> f </tex>. <tex> E' </tex> — множество конечной меры, <tex> f </tex> на нем ограничена. <tex> \int\limits_{E'} f < + \infty </tex>. Тогда по уже доказанному, <tex> \int\limits_{E'} f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_{E'} f_n </tex>. Интеграл по любому хорошему <tex> E' </tex> для <tex> f </tex> не превосходит этой константы и, переходя к <tex> \sup </tex> по <tex> E </tex>, получаем <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E f_n </tex>, что и требовалось доказать.}}