Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(tex добавлю попозже)
(Следствие)
 
(не показано 17 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
[[Суммируемые функции произвольного знака|<<]][[Пространство L_p(E)|>>]]
  
 
== Теорема Лебега ==
 
== Теорема Лебега ==
Строка 8: Строка 8:
 
о мажорируемой сходимости
 
о мажорируемой сходимости
 
|statement=
 
|statement=
Пусть на E \subset X задана последовательность измеримых функций f_n, таких, что |f_n(x)| \le \varphi(x) почти всюду, где \varphi — измеримая.
+
Пусть на <tex> E \subset X </tex> задана последовательность суммируемых функций <tex> f_n </tex>, таких, что <tex> |f_n(x)| \le \varphi(x) </tex> почти всюду, где <tex> \varphi </tex> суммируемая.
  
Пусть f_n \Rightarrow(E) f (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:
+
Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:
  
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f
+
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Из сходимости по мере по теореме Риса выделим сходящуюся подпоследовательность f_{n_k}.
+
<tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex>, следовательно, по теореме Рисса, можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> f_{n_k} </tex>.
  
|f_{n_k}(x)| \le \varphi(x). Устремим k к бесконечности, тогда |f(x)| \le \varphi(x).
+
<tex> |f_{n_k}(x)| \le \varphi(x) </tex>. Устремим <tex> k </tex> к бесконечности, тогда <tex> |f(x)| \le \varphi(x) </tex>.
  
\forall \varepsilon > 0, A_\varepsilon — хорошее для \varphi: \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} \varphi d \mu < \varepsilon
+
По определению интеграла, <tex> \forall \varepsilon > 0</tex>, можно подобрать <tex> A_\varepsilon </tex> — хорошее для <tex> \varphi: \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} \varphi d \mu < \varepsilon </tex>.
 
   
 
   
\left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| = \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| +  \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f|
+
<tex> \left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| \le \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| +  \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| </tex>
  
\int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi < 2 \varepsilon (по выбору A_\varepsilon)
+
<tex> \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi < 2 \varepsilon </tex> (по выбору <tex> A_\varepsilon </tex>)
  
A_{\varepsilon} — хорошее, следовательно, \mu A_{\varepsilon} < + \infty, |\varphi(x)| \le M на A_\varepsilon, |f_n| \le \varphi \le M на A_\varepsilon, аналогично, f.
+
<tex> A_{\varepsilon} </tex> — хорошее, следовательно, <tex> \mu A_{\varepsilon} < + \infty </tex>, следовательно,
 +
<tex> |\varphi(x)| \le M </tex> на <tex> A_\varepsilon </tex>.
  
Тем самым, \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, \int\limits_{{A_\varepsilon}} \rightarrow (n \to \infty) 0. Тогда и \int\limits_E |f_n - f| \rightarrow (n \to \infty) 0, что и требовалось доказать.
+
<tex> |f_n|, |f| </tex> мажорируются <tex> \varphi \le M </tex> на <tex> A_\varepsilon </tex>.
 +
 
 +
Тем самым, <tex> \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| </tex> удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, <tex> \int\limits_{{A_\varepsilon}} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>. Тогда и <tex> \int\limits_E |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, что и требовалось доказать.
 
}}
 
}}
  
Примечание: Так как на множестве конечной меры их сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду.
+
Примечание: Так как на множестве конечной меры из сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду.
  
 
== Теорема Леви ==
 
== Теорема Леви ==
Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты ==
+
Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=
 
|author=
 
Леви
 
Леви
 
|statement=
 
|statement=
Пусть на E задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и f_n(x) \le f_{n+1}(x). f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) — почти везде конечна на E. Тогда:
+
Пусть на <tex> E </tex> задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и <tex> f_n(x) \le f_{n+1}(x) </tex>. <tex> f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) </tex> — почти везде конечна на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \lim\limits_n \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
В силу поточечной монотонности f_n, f как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна.  
+
В силу поточечной монотонности <tex> f_n </tex>, <tex> f </tex>, как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим, поэтому все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна.  
  
\int\limits_E f < + \infty, 0 < f_n \le f
+
Если <tex> \int\limits_E f < + \infty, 0 < f_n \le f </tex>, то <tex> f </tex> — суммируемая мажоранта <tex> f_n </tex>, и, по теореме Лебега, равенство выполняется.
  
f — суммируемая мажоранта f_n и по теореме Лебега равенство({{TODO|t=???}}) выполняется.
+
Если же <tex> \int\limits_E f = + \infty </tex>, то для любого <tex> m \in \mathbb N </tex>, по определению интеграла неотрицательной функции, существует <tex> \exists E_m </tex> хорошее для <tex> f: m < \int\limits_{E_m} f d \mu </tex>.
  
\int\limits_E f = + \infty: \forall m < N по определению интеграла неотрицательной функции \exists E_m — хорошее для f: m < \int\limits_{E_m} f d \mu. f ограничена на E_m, мера E_m — конечна, то константа, которой определяется f, может рассматриваться, как суммируемая мажоранта  для f_n и по теореме Лебега, \int\limits_{E_m} f_n \to \int\limits_{E_m} f, и, начиная с N: m < \int\limits_{E_m} f_n.
+
<tex> f </tex> ограничена на <tex> E_m </tex>, мера <tex> E_m </tex> — конечна, значит, константа, которой определяется <tex> f </tex>, может рассматриваться, как суммируемая мажоранта  для <tex> f_n </tex> и, по теореме Лебега, <tex> \int\limits_{E_m} f_n \to \int\limits_{E_m} f </tex>. Поэтому, начиная с <tex> N, m < \int\limits_{E_m} f_n </tex>.
  
E_m \in E, f_n \ge 0, и по свойствам интеграла, \int\limits_{E_m} f_n \le \int\limits_{E} f_n и m < \int\limits_{E} f_n, \forall n > N, m — произвольное натуральное число, следовательно, \int\limits_{E} f_n \to + \infty = \int\limits_{E} f, что и требовалось доказать.
+
Но <tex> E_m \subset E, f_n \ge 0 </tex>, и по свойствам интеграла, <tex> \int\limits_{E_m} f_n \le \int\limits_{E} f_n </tex> и <tex> m < \int\limits_{E} f_n, \forall n > N </tex>, <tex> m </tex> — произвольное натуральное число, следовательно, <tex> \int\limits_{E} f_n \to + \infty = \int\limits_{E} f </tex>, что и требовалось доказать.
 
}}
 
}}
  
Строка 55: Строка 58:
 
следствие
 
следствие
 
|statement=
 
|statement=
Пусть u_n(x) \ge 0 на E и измеримы и \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n — сходится (< + \infty). Тогда \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) сходится почти всюду на E.
+
Пусть <tex> u_n(x) \ge 0 </tex> и измеримы на <tex> E </tex>, и <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n </tex> — сходится. Тогда <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) </tex> сходится почти всюду на <tex> E </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Все интегралы определены (неотрицательные функции). S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} u_k(x) пшшш. Значит, у них есть предел. Установить что предел + \infty на нульмерном множестве. E_1 = E(S(x) = + \infty) S(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) {{TODO|t=блин, тут какое-то уг в конспекте}}
+
Все интегралы определены (неотрицательные функции). <tex> S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} u_k(x) </tex> с ростом <tex> n </tex> возрастает. Мы хотим установить, что предел <tex> S(x) \rightarrow + \infty </tex> самое большее — на нульмерном множестве.  
  
Но к частичным суммам на E_1 применима теорема Леви и \int\limits_{E_1} S_n \to + \infty, но \int\limits_{E_1} S_n \le \int\limits_E S_n = \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_E u_k \to конечный предел.
+
Пусть <tex> E_1 = E(S(x) = + \infty) </tex> и <tex> \mu E_1 > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{E_1} S(x) d\mu = \infty </tex>.
  
Противоречие, \mu E_1 = 0, ч.т.д.
+
Но к частичным суммам на <tex> E_1 </tex> применима теорема Леви и <tex> \int\limits_{E_1} S_n \to + \infty </tex>, при этом <tex> \int\limits_{E_1} S_n \le \int\limits_E S_n = \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_E u_k </tex>, а эта сумма имеет конечный предел.
 +
 
 +
Мы пришли к противоречию, значит, <tex> \mu E_1 = 0 </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 69: Строка 74:
 
Фату
 
Фату
 
|statement=
 
|statement=
Пусть измеримые f_n неотрицательны на E и сходятся на E по мере к функции f. Тогда \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n.
+
Пусть измеримые <tex> f_n </tex>  неотрицательны на <tex> E </tex> и сходятся на <tex> E </tex> по мере к функции <tex> f </tex>. Тогда <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
По теореме Риса выделяем из f_n сходящуюся почти всюду подпоследовательность. f_n неотрицательна, f_{n_k} \to f, следовательно, f тоже неотрицательна почти всюду на E, интеграл в неравенстве определен. Справа sup — не уменьшая общности считаем что с начала f_n \to f почти всюду.  
+
По теореме Рисса выделяем из <tex> f_n </tex> сходящуюся почти всюду подпоследовательность. <tex> f_n </tex> неотрицательна, <tex> f_{n_k} \to f </tex>, следовательно, <tex> f </tex> тоже неотрицательна почти всюду на <tex> E </tex>, интеграл в неравенстве определен. Справа <tex> sup </tex> — не уменьшая общности, можно считать, что <tex> f_n \to f </tex> почти всюду.  
  
g_n = \min \{ f, f_n \}
+
Пусть <tex> g_n = \min \{ f, f_n \} </tex> (<tex> g_n </tex> — поточечный минимум);
  
g_n — измерима ( \min (x, y) = \frac{(x + y) - |x - y|}2 )  
+
<tex> g_n </tex> — измерима ( <tex> \min (x, y) = \frac{(x + y) - |x - y|}2 </tex> )  
  
g_n \le f_n. \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E g_n
+
<tex> g_n \le f_n </tex>. Докажем, что <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E g_n </tex>
  
f_n(x) \to f(x) \Rightarrow g_n(x) \to f(x)  
+
<tex> f_n(x) \to f(x) \Rightarrow g_n(x) \to f(x) </tex>
  
g_n \le f
+
<tex> g_n \le f </tex>
 +
Рассмотрим два случая:
  
\int\limits_E f < + \infty, то есть она суммируемая мажоранта для g_n и по теореме Лебега \int\limits_E g_n \to \int\limits_E f и неравенство выполняется.
+
а) <tex> \int\limits_E f < + \infty </tex>:
  
Остался случай несуммируемой f, то есть \int\limits_E f = + \infty.
+
Тогда <tex> f </tex> — суммируемая мажоранта для <tex> g_n </tex>, и по теореме Лебега <tex> \int\limits_E g_n \to \int\limits_E f </tex>, неравенство выполняется.
  
\forall хорошее E' для f. Это множество конечной меры, f ограничено на нем.  \int\limits_{E'} < + \infty. Тогда по уже доказанному, \int\limits_{E'} f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_{E'} f_n.
+
б) <tex> \int\limits_E f = + \infty </tex>.
  
Интеграл по любому хорошему E' для f не превосходит этой константы и по определению интеграла переходя к sup по E, получаем \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E f_n, что и требовалось доказать.
+
Возьмем любое хорошее <tex> E' </tex> для <tex> f </tex>. <tex> E' </tex> — множество конечной меры, <tex> f </tex> на нем ограничена. <tex> \int\limits_{E'} f < + \infty </tex>. Тогда по уже доказанному, <tex> \int\limits_{E'} f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_{E'} f_n </tex>.
 +
 
 +
Интеграл по любому хорошему <tex> E' </tex> для <tex> f </tex> не превосходит этой константы и, переходя к <tex> \sup </tex> по <tex> E </tex>, получаем <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E f_n </tex>, что и требовалось доказать.
 
}}
 
}}
  
 
+
[[Суммируемые функции произвольного знака|<<]][[Пространство L_p(E)|>>]]
\forall \varepsilon > 0
+
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
 
 
\int\limits_E
 
\int\limits_E
 
\int\limits_E
 
\int\limits_E
 
\int\limits_E
 
\int\limits_E
 
\int\limits_E
 

Текущая версия на 16:51, 26 апреля 2018

<<>>

Теорема Лебега[править]

Теорема (Лебег, о мажорируемой сходимости):
Пусть на [math] E \subset X [/math] задана последовательность суммируемых функций [math] f_n [/math], таких, что [math] |f_n(x)| \le \varphi(x) [/math] почти всюду, где [math] \varphi [/math] — суммируемая.

Пусть [math] f_n \underset{E}{\Rightarrow} f [/math] (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:

[math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] f_n \underset{E}{\Rightarrow} f [/math], следовательно, по теореме Рисса, можно выделить сходящуюся подпоследовательность [math] f_{n_k} [/math].

[math] |f_{n_k}(x)| \le \varphi(x) [/math]. Устремим [math] k [/math] к бесконечности, тогда [math] |f(x)| \le \varphi(x) [/math].

По определению интеграла, [math] \forall \varepsilon \gt 0[/math], можно подобрать [math] A_\varepsilon [/math] — хорошее для [math] \varphi: \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} \varphi d \mu \lt \varepsilon [/math].

[math] \left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| \le \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| + \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| [/math]

[math] \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi \lt 2 \varepsilon [/math] (по выбору [math] A_\varepsilon [/math])

[math] A_{\varepsilon} [/math] — хорошее, следовательно, [math] \mu A_{\varepsilon} \lt + \infty [/math], следовательно, [math] |\varphi(x)| \le M [/math] на [math] A_\varepsilon [/math].

[math] |f_n|, |f| [/math] мажорируются [math] \varphi \le M [/math] на [math] A_\varepsilon [/math].

Тем самым, [math] \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| [/math] удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, [math] \int\limits_{{A_\varepsilon}} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math]. Тогда и [math] \int\limits_E |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math], что и требовалось доказать.
[math]\triangleleft[/math]

Примечание: Так как на множестве конечной меры из сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду.

Теорема Леви[править]

Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты:

Теорема (Леви):
Пусть на [math] E [/math] задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и [math] f_n(x) \le f_{n+1}(x) [/math]. [math] f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) [/math] — почти везде конечна на [math] E [/math]. Тогда [math] \lim\limits_n \int\limits_E f_n = \int\limits_E f [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

В силу поточечной монотонности [math] f_n [/math], [math] f [/math], как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим, поэтому все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна.

Если [math] \int\limits_E f \lt + \infty, 0 \lt f_n \le f [/math], то [math] f [/math] — суммируемая мажоранта [math] f_n [/math], и, по теореме Лебега, равенство выполняется.

Если же [math] \int\limits_E f = + \infty [/math], то для любого [math] m \in \mathbb N [/math], по определению интеграла неотрицательной функции, существует [math] \exists E_m [/math] — хорошее для [math] f: m \lt \int\limits_{E_m} f d \mu [/math].

[math] f [/math] ограничена на [math] E_m [/math], мера [math] E_m [/math] — конечна, значит, константа, которой определяется [math] f [/math], может рассматриваться, как суммируемая мажоранта для [math] f_n [/math] и, по теореме Лебега, [math] \int\limits_{E_m} f_n \to \int\limits_{E_m} f [/math]. Поэтому, начиная с [math] N, m \lt \int\limits_{E_m} f_n [/math].

Но [math] E_m \subset E, f_n \ge 0 [/math], и по свойствам интеграла, [math] \int\limits_{E_m} f_n \le \int\limits_{E} f_n [/math] и [math] m \lt \int\limits_{E} f_n, \forall n \gt N [/math], [math] m [/math] — произвольное натуральное число, следовательно, [math] \int\limits_{E} f_n \to + \infty = \int\limits_{E} f [/math], что и требовалось доказать.
[math]\triangleleft[/math]

Следствие[править]

Лемма (следствие):
Пусть [math] u_n(x) \ge 0 [/math] и измеримы на [math] E [/math], и [math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n [/math] — сходится. Тогда [math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) [/math] сходится почти всюду на [math] E [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Все интегралы определены (неотрицательные функции). [math] S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} u_k(x) [/math] с ростом [math] n [/math] возрастает. Мы хотим установить, что предел [math] S(x) \rightarrow + \infty [/math] самое большее — на нульмерном множестве.

Пусть [math] E_1 = E(S(x) = + \infty) [/math] и [math] \mu E_1 \gt 0 [/math]. Тогда [math] \int\limits_{E_1} S(x) d\mu = \infty [/math].

Но к частичным суммам на [math] E_1 [/math] применима теорема Леви и [math] \int\limits_{E_1} S_n \to + \infty [/math], при этом [math] \int\limits_{E_1} S_n \le \int\limits_E S_n = \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_E u_k [/math], а эта сумма имеет конечный предел.

Мы пришли к противоречию, значит, [math] \mu E_1 = 0 [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Теорема Фату[править]

Теорема (Фату):
Пусть измеримые [math] f_n [/math] неотрицательны на [math] E [/math] и сходятся на [math] E [/math] по мере к функции [math] f [/math]. Тогда [math] \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

По теореме Рисса выделяем из [math] f_n [/math] сходящуюся почти всюду подпоследовательность. [math] f_n [/math] неотрицательна, [math] f_{n_k} \to f [/math], следовательно, [math] f [/math] тоже неотрицательна почти всюду на [math] E [/math], интеграл в неравенстве определен. Справа [math] sup [/math] — не уменьшая общности, можно считать, что [math] f_n \to f [/math] почти всюду.

Пусть [math] g_n = \min \{ f, f_n \} [/math] ([math] g_n [/math] — поточечный минимум);

[math] g_n [/math] — измерима ( [math] \min (x, y) = \frac{(x + y) - |x - y|}2 [/math] )

[math] g_n \le f_n [/math]. Докажем, что [math] \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E g_n [/math]

[math] f_n(x) \to f(x) \Rightarrow g_n(x) \to f(x) [/math]

[math] g_n \le f [/math] Рассмотрим два случая:

а) [math] \int\limits_E f \lt + \infty [/math]:

Тогда [math] f [/math] — суммируемая мажоранта для [math] g_n [/math], и по теореме Лебега [math] \int\limits_E g_n \to \int\limits_E f [/math], неравенство выполняется.

б) [math] \int\limits_E f = + \infty [/math].

Возьмем любое хорошее [math] E' [/math] для [math] f [/math]. [math] E' [/math] — множество конечной меры, [math] f [/math] на нем ограничена. [math] \int\limits_{E'} f \lt + \infty [/math]. Тогда по уже доказанному, [math] \int\limits_{E'} f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_{E'} f_n [/math].

Интеграл по любому хорошему [math] E' [/math] для [math] f [/math] не превосходит этой константы и, переходя к [math] \sup [/math] по [math] E [/math], получаем [math] \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E f_n [/math], что и требовалось доказать.
[math]\triangleleft[/math]

<<>>