Изменения
→Следствие
[[Суммируемые функции произвольного знака|<<]][[Пространство L_p(E)|>>]]
== Теорема Лебега ==
<tex> |f_{n_k}(x)| \le \varphi(x) </tex>. Устремим <tex> k </tex> к бесконечности, тогда <tex> |f(x)| \le \varphi(x) </tex>.
По определению интеграла, <tex> \forall \varepsilon > 0</tex>, можно подобрать <tex> A_\varepsilon </tex> — хорошее для <tex> \varphi: \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} \varphi d \mu < \varepsilon </tex>.
<tex> \left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| \le \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| + \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| </tex>
Леви
|statement=
Пусть на <tex> E </tex> задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и <tex> f_n(x) \le f_{n+1}(x) </tex>. <tex> f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) </tex> — почти везде конечна на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \lim\limits_n \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex>.
|proof=
В силу поточечной монотонности <tex> f_n </tex>, <tex> f </tex>, как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим, поэтому все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна.
следствие
|statement=
Пусть <tex> u_n(x) \ge 0 </tex> на и измеримы на <tex> E </tex>, и <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n </tex> — сходится. Тогда <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) </tex> сходится почти всюду на <tex> E </tex>.
|proof=
Все интегралы определены (неотрицательные функции). <tex> S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} u_k(x) </tex> с ростом <tex> n </tex> возрастает. Мы хотим установить, что предел <tex> S(x) \rightarrow + \infty </tex> самое большее — на нульмерном множестве.
