689
правок
Изменения
м
Остался случай несуммируемой <tex> f </tex>, то есть б) <tex> \int\limits_E f = + \infty </tex>.
→Теорема Фату
Пусть измеримые <tex> f_n </tex> неотрицательны на <tex> E </tex> и сходятся на <tex> E </tex> по мере к функции <tex> f </tex>. Тогда <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n </tex>.
|proof=
По теореме Риса выделяем из <tex> f_n </tex> сходящуюся почти всюду подпоследовательность. <tex> f_n </tex> неотрицательна, <tex> f_{n_k} \to f </tex>, следовательно, <tex> f </tex> тоже неотрицательна почти всюду на <tex> E </tex>, интеграл в неравенстве определен. Справа <tex> sup </tex> — не уменьшая общности считаем , можно считать, что с начала <tex> f_n \to f </tex> почти всюду.
Пусть <tex> g_n = \min \{ f, f_n \} </tex> ;
<tex> g_n </tex> — измерима ( <tex> \min (x, y) = \frac{(x + y) - |x - y|}2 </tex> )
<tex> g_n \le f_n </tex>. <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E g_n </tex>
<tex> f_n(x) \to f(x) \Rightarrow g_n(x) \to f(x) </tex>
<tex> g_n \le f </tex>
Рассмотрим два случая:
а) <tex> \int\limits_E f < + \infty </tex>:
Тогда <tex> \int\limits_E f < + \infty </tex>, то есть она — суммируемая мажоранта для <tex> g_n </tex> , и по теореме Лебега <tex> \int\limits_E g_n \to \int\limits_E f </tex> и , неравенство выполняется.
Возьмем любое хорошее <tex> \forall E' </tex> хорошее для <tex> E' f </tex> для . <tex> f E' </tex>. Это — множество конечной меры, <tex> f </tex> ограничено на немограничена. <tex> \int\limits_{E'} < + \infty </tex>. Тогда по уже доказанному, <tex> \int\limits_{E'} f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_{E'} f_n </tex>.
Интеграл по любому хорошему <tex> E' </tex> для <tex> f </tex> не превосходит этой константы и по определению интеграла , переходя к <tex> \sup </tex> по <tex> E </tex>, получаем <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E f_n </tex>, что и требовалось доказать.
}}
[[Суммируемые функции произвольного знака|<<]][[Пространство L_p(E)|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
