Изменения

|statement=Пусть функциональная последовательность <tex>f_n</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> и <tex>\mathcal {8}\delta > 0:</tex>, <tex>\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightarrow[n,m \rightarrow 0\infty]{} 0</tex>. Тогда существует последовательность <tex>\exists n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots</tex> для которых , такая что <tex>\{f_{n_k}}(x) \} </tex> почти всюду сходится на <tex>E</tex>. <br> (Иначе - Другими словами, из сходимости по мере в себе функциональной последовательности следует сходимость почти всюду на подпоследовательности).

(т.е. То есть, из сходимости по мере вытекает сходимость по мере в себе. Возьмём <tex> \varepsilon_k > 0, \sum\limits_{k = 1}^\infty \varepsilon_k < +\infty</tex>. Например, <tex>\varepsilon_k = \frac{1}{2^k}</tex>. В силу условия леммы, для <tex>\varepsilon_1\ \exists n_1 \forall n, m > n_1 : \mu E(|f_n - f_m| \geq \varepsilon_1) < \varepsilon_1</tex> Рассмотрим <tex>m = n_1</tex>, <tex>\forall n \geq m</tex>: <tex>\varepsilon_2 : \exists n_2 > n_1\ \forall n > n_2 : \mu E(|f_n - f_{n_2}| \geq \varepsilon_2) < \varepsilon_2</tex> Раз <tex>n_2 > n_1</tex>, <tex>\mu E(|f_{n_2} - f_{n_1}| \geq \varepsilon_1) < \varepsilon_1</tex> (По выбору <tex>n_1</tex>) <tex>\varepsilon_3 : \exists n_3 > n_2\ \forall n > n_3 : \mu E(|f_n - f_{n_3}| \geq \varepsilon_3) < \varepsilon_3</tex> Раз <tex>n_3 > n_2</tex>, <tex>\mu E(|f_{n_3} - f_{n_2}| \geq \varepsilon_2) < \varepsilon_2</tex> Продолжаем по индукции <tex>n_1 < n_2 < n_3 < \cdots</tex>:  <tex>\mu E(|f_{n_{k + 1}} - f_{n_k}| \geq \varepsilon_k) < \varepsilon_k</tex> <tex>B_k = \bigcup\limits_{j=k}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j)</tex> <tex>\mu B_k \leq \sum\limits_{j=k}^\infty \mu E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j) < \sum\limits_{j = k}^\infty \varepsilon_j \rightarrow 0</tex> как остаток сходящегося положительного ряда <tex>\varepsilon_k</tex>. <tex>B = \bigcap\limits_{k=1}^\infty B_k</tex>, <tex>B \subset B_k</tex>, по монотонности меры, <tex>\mu B \leq \mu B_k \to 0</tex>. Значит, <tex>\mu B = 0</tex>. Рассмотрим <tex>A = E \setminus B</tex> и установим, что на этом множестве последовательность функций <tex>\{f_{n_k}\}</tex> сходится. Тогда, в силу нульмерности <tex>B</tex>, что она будет сходиться на <tex>E</tex> уже почти всюду. <tex>A = \bar B = \bigcup\limits_{k=1}^\infty \bar B_k</tex>. Так как <tex>x \in A </tex>, то есть <tex> k_x </tex>, такой, что <tex> x \in \bar B_{k_x}</tex>. <tex>\bar B_{k_x} = \bigcap\limits_{j=k_x}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| < \varepsilon_j)</tex> Раз <tex>x \in \bar B_{k_x}</tex>, <tex>\forall j \geq k_x : |f_{n_{j + 1}}(x)- f_{n_j}(x)| < \varepsilon_j</tex> Рассмотрим теперь выражение <tex>f_{n_1}(x) + \sum\limits_{j = 1}^\infty(f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x))</tex>: Для заданного <tex>x</tex> начиная с <tex>j = k_x</tex>, <tex>|f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x) | </tex> начнут мажорироваться сходящимся рядом <tex>\varepsilon_k</tex>. Тогда этот ряд сходится. Значит, <tex>\forall x\in A</tex> функциональная последовательность сходится.