Изменения

|statement=Пусть функциональная последовательность <tex>f_n</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> и <tex>\mathcal {8}\delta > 0:</tex>, <tex>\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightarrow[n,m \rightarrow 0\infty]{} 0</tex>. Тогда существует последовательность <tex>\exists n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots</tex> для которых , такая что <tex>\{f_{n_k}}(x) \} </tex> почти всюду сходится на <tex>E</tex>. <br> (Иначе - Другими словами, из сходимости по мере в себе функциональной последовательности следует сходимость почти всюду на подпоследовательности).

То есть, из сходимости по мере вытекает сходимость по мере в себе. Возьмём <tex>\forall \varepsilon_k > 0, \sum\limits_{k = 1}^\infty \varepsilon_k < +\infty</tex>. Например, <tex>\varepsilon_k = \frac{1}{2^k}</tex>.

В силу условия леммы, для <tex>\forall \varepsilon_kvarepsilon_1\ \exists n_1\ forall n, m > n_1 : \mu E(|f_n - f_m| \geq \varepsilon_1) < \varepsilon_1</tex>

Рассмотрим <tex>m = n_1</tex>, <tex>\forall n \geq m</tex>:

<tex>\mu B_k \leq \sum\limits_{j=k}^\infty \mu E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j) < \sum\limits_{j = k}^\infty \varepsilon_j \o rightarrow 0</tex> как остаток сходящегося положительного ряда <tex>\varepsilon_k</tex>.

<tex>B</tex> {{---}} нульмерное множество. Рассмотрим <tex>A = E \setminus B</tex> и установим, что на этом множестве последовательность функций <tex>\{f_{n_k}\}</tex> сходится. А тогдаТогда, в силу нульмерности <tex>B</tex>, что она сходится будет сходиться на <tex>E</tex> уже почти всюду.

<tex>A = \bar B = \bigcapbigcup\limits_{k=1}^\infty \bar B_k</tex>.

Так как <tex>x \in A : \exists </tex>, то есть <tex> k_x : </tex>, такой, что <tex> x \in \bar B_{k_x}</tex>.

<tex>\bar B_{k_x} = \bigcap\limits_{j=k_x}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j} | < \varepsilon_j|)</tex>

Рассмотрим теперь выражение <tex>f_{n_1}(x) + \sum\limits_{j = 1}^\infty(f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x))</tex>:

Для заданного <tex>x</tex> начиная с <tex>j = kk_x</tex>, <tex>|f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x) | </tex> начнут мажорироваться сходящимся рядом <tex>\varepsilon_k</tex>. Тогда этот ряд сходится. Значит, <tex>\forall x\leq in A</tex> функциональная последовательность сходится.

<tex>k = 0, 1 \ldots n m - 1 : f_{k, m}(x) = \begin{cases}0, & x \notin \left[\frac{k}m; \frac{k+1}m\right]\\1, & x \in \left[ \frac{k}m; \frac{k+1}m \right] \end{cases}</tex>

Растягиваем матрицу таблицу из этих функций в строчку:<tex>f_{1,1}, f_{1,2}, f_{2, 12}, f_{1,3}, f_{2,23}, f_{3, 13}, \ldots</tex> {{---}} функциональная последовательность.

С другой стороны , очевидно, что к <tex>0</tex> она почти всюду не стремится, ибо, фиксировав <tex>x \in (0; 1)</tex>, при <tex>x \in \left[ \frac{k_x}m; \frac{k_x + 1}m \right]</tex> стремится на нём <tex>\ f_{k_x, m} = 1</tex>.

Мы получили примертого, что даже на множестве конечной меры, из сходимости по мере сходимость почти всюду не следует.

|statement=Пусть последовательность функций сходится по мере к функции <tex>f</tex> на <tex>E</tex>. Тогда из неё можно выделить подпоследовательность, которая сходится почти всюду на <tex>E</tex>к <tex> f </tex>.

Выше мы показали, что если <tex>f_n \Rightarrow f</tex>, то <tex>|f_n - f_m| \Rightarrow 0</tex>, <tex>n,m \to \infty</tex>.

Тогда, по леммепользуясь леммой, выделяем требуемую последовательность функций.

== Пункт 2 Теорема Лузина ==Будет разговор о <tex>C</tex>-свойстве Лузина. Приведём без доказательства, но из неё выведем важную теорему Фреше.

|proof=Не в этой жизниЭто же очевидно! <nowiki>[[Файл:dodonovface.jpg]]</nowiki>Кому не очевидно, то можно почитать тут [http://www.mathnet.ru/links/f55866d9deee67d3fd18d61f906239b1/sm6497.pdf].

Если, помимо всего прочего, <tex>f(x)</tex> ограничена <tex>M</tex> на <tex>E</tex>, то <tex>\varphi</tex> можно подобрать таким образом, что она ограничена той же постоянной на <tex>\mathbb{R}^n</tex>.

|statement=<tex>E\subset \mathbb{R}^n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex>. Тогда <tex>\exists\varphi_n</tex> {{---}} последовательность непрерывных на <tex>\mathbb{R}^n</tex> функций , такая, что <tex>\varphi_n\to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>.|proof=Пусть <tex>\varepsilon_n \to 0</tex>. По теореме Лузина, <tex>\forall\varepsilon_n\ \exists\varphi_n</tex> {{---}} непрерывная : <tex>: \forall \delta>0 : \lambda E(|\varphi_n - f| > \delta) < \lambda E(\varphi_n \ne f)</tex>.

<tex>\lambda E(|\varphi_n - f| > \delta) \leq \lambda E(\varphi_n \ne f) < \varepsilon_n \to 0</tex>. Значит, <tex>\lambda E(|\varphi_n-f| > \delta) \to 0</tex>. Значит, <tex>\varphi_n \Rightarrow f</tex>.

|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда, для любого <tex>\delta > 0</tex>.Тогда <tex>: \exists E'' \subset E</tex>, <tex>\mu E'' > \mu E - \delta</tex>, <tex>f_n \stackrel{E''}{\Rightarrowrightrightarrows} f</tex><br>Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.

Пусть <tex>B_m(p) = \delta < 0bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p) \supset B_{m+1}(p)</tex>

В силу конечности меры <tex>E</tex>, из <tex>\sigma</tex>-аддитивности, <tex>\mu B_m(p) = \bigcupxrightarrow[m\to\limits_infty]{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq mu\frac1p) bigcap\supset B_limits_{m+=1}^\infty B_m(p)</tex>(этот факт был установлен нами ранее, при доказательстве теоремы Лебега).

В силу конечности меры <tex>E</tex>, из <tex>\sigma</tex>-аддитивности, <tex>\mu B_m(p) \xrightarrow[m\to\infty]{} \mu\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)</tex>. Но любое пересечение содержится в объединении <tex>\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)\subset \bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)</tex> {{---}} нульмерно <tex>\Rightarrow</tex> по монотонности меры, <tex>\mu\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p) = 0</tex>.

Для <tex>\frac{\delta}{2p2^p} : \exists </tex> существует <tex> B_{m_j}(p) : \mu B_{m_j}(p) < \frac{\delta}{2p2^p}</tex>.

По полуаддитивности меры, <tex>\mu E' \leq \sum\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p) \leq \sum\limits_{p=1}^\infty \frac\delta{2p2^p} = \delta</tex>.

<tex>\mu E' < \delta</tex>, <tex>\bar E' = E \setminus E'</tex>, значит, <tex>\mu \bar E' = \mu E - \mu E' > \mu E - \delta</tex>.

Пусть <tex>\mu \bar E'' = \mu E - \mu bar E' = \mu E - \delta</tex>.

По двойственности, <tex>\bar E' = \overline{\bigcup\limits_{p=1}^\infty B_mB_{m_p}(p)} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \overline{B_{m_p}(p)}</tex>.

<tex>B_{m_p}(p) = \bigcup\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex>. Значит, <tex>\bar B_{m_p}(p) = \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>;

Окончательно получается, что <tex>\bar E' = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>.

В силу того, что номер <tex>m_p</tex> выбирается независимо от <tex>x</tex>, а только по <tex>\delta</tex> и <tex>зp</tex>, <tex>f_n \stackrel{\bar E''}{\Rightarrowrightrightarrows} f</tex>.