689
правок
Изменения
м
В силу конечности меры <tex>E</tex>, из <tex>\sigma</tex>-аддитивности, <tex>\mu B_m(p) \xrightarrow[m\to\infty]{} \mu\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)</tex>. Но любое пересечение содержится в объединении <tex>\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)\subset \bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)</tex> {{---}} нульмерно <tex>\Rightarrow</tex> по монотонности меры, <tex>\mu\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p) = 0</tex>.
→Теорема Егорова: не то доказывали, пофиксил
|author=Егоров
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>, <tex>\delta > 0</tex>.
Тогда <tex>\exists E'' \subset E</tex>, <tex>\mu E'' > \mu E - \delta</tex>, <tex>f_n \stackrel{E''}{\Rightarrowrightrightarrows} f</tex>
|proof=
<tex>\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex> {{---}} нульмерно.
Пусть <tex>B_m(p) = \delta < 0bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p) \supset B_{m+1}(p)</tex>
В силу конечности меры <tex>E</tex>, из <tex>\sigma</tex>-аддитивности, <tex>\mu B_m(p) = \bigcupxrightarrow[m\to\limits_infty]{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq mu\frac1p) bigcap\supset B_limits_{m+=1}^\infty B_m(p)</tex>(этот факт был установлен нами ранее, при доказательстве теоремы Лебега).
Для <tex>\frac{\delta}{2p2^p} : \exists </tex> существует <tex> B_{m_j}(p) : \mu B_{m_j}(p) < \frac{\delta}{2p2^p}</tex>.
<tex>E' = \bigcup\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p)</tex>
По полуаддитивности меры, <tex>\mu E' \leq \sum\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p) \leq \sum\limits_{p=1}^\infty \frac\delta{2p} = \delta</tex>.
<tex>\mu E' < \delta</tex>, <tex>\bar E' = E \setminus E'</tex>, значит, <tex>\mu \bar E' = \mu E - \mu E' = \mu E - \delta</tex>.
Пусть <tex>\mu \bar E'' = \mu E - \mu bar E' = \mu E - \delta</tex>.
По двойственности, <tex>\bar E' = \overline{\bigcup\limits_{p=1}^\infty B_m(p)} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \overline{B_{m_p}(p)}</tex>.
<tex>B_{m_p}(p) = \bigcup\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex>. Значит, <tex>\bar B_{m_p}(p) = \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n f| < \frac1p)</tex>;
Окончательно получается, что <tex>\bar E' = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>.
<tex>\mu\bar E' > \mu E - \delta</tex>
<tex>\forall x \in \bar E' \Rightarrow \forall p=1,2,\ldots x \in \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>. Значит, <tex>\forall n > m_p : |f_n(x) - f(x)| \leq \frac1p</tex>.
В силу того, что номер <tex>m_p</tex> выбирается независимо от <tex>x</tex>, а только по <tex>\delta</tex> и <tex>p</tex>, <tex>f_n \stackrel{\bar E''}{\Rightarrowrightrightarrows} f</tex>.
}}
Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти наверное всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры {{---}} равномерная сходимость) отличается от равномерной сходимости.
