Классические теоремы теории измеримых функций

Материал из Викиконспекты
Версия от 02:45, 6 декабря 2011; 192.168.0.2 (обсуждение) (Новая страница: «{{Лемма |statement=<tex>f_n</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> и <tex>\mathcal {8}\delta > 0</tex>, <tex>\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightar...»)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Лемма:
[math]f_n[/math] — измерима на [math]E[/math] и [math]\mathcal {8}\delta \gt 0[/math], [math]\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightarrow[n,m \rightarrow 0]{} 0[/math]. Тогда [math]\exists n_1 \lt n_2 \lt \dots \lt n_k \lt \dots[/math] для которых [math]{f_{n_k}}(x) [/math] почти всюду сходится на [math]E[/math].
(Иначе - из сходимости в себе следует сходимость почти всюду на подпоследовательности).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]f_n \Rightarrow f[/math] на [math]E[/math]. [math]\mathcal{8} \delta \gt 0:[/math]
[math]E(|f_n - f_m| \geq \delta) \subset E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3}) ~ \cup ~ E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3}); [/math]

[math]\mu E(|f_n - f_m| \geq \delta) \leq \mu E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0) + E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0)[/math]
[math]\triangleleft[/math]