Изменения

''Oсновная статья:'' [[Натуральные числа | Натуральные числа]]===Неформатное Неформальное определение===

'''Натура́льные чи́сла''' (англ. ''natural numbers'', естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком <mathtex>\mathbb{N}</mathtex>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

===Аксиомы ПеаноФормальное определение===Определить множество натуральных чисел позволяют '''аксиомы Пеано''' (англ. ''Peano axioms''):{{Определение|definition=Множество <mathtex>\mathbb N</mathtex> будем называть '''множеством натуральных чисел''', если зафиксирован некоторый элемент <mathtex> 1\in\mathbb N</mathtex> (единица) и функция <mathtex>S\colon\mathbb N\to\mathbb N</mathtex> (функция следования) так, что выполнены следующие условия# <mathtex>1\in\mathbb{N}</mathtex> (<mathtex>1</mathtex> является натуральным числом);# Если <mathtex>x\in\mathbb{N}</mathtex>, то <mathtex>S(x)\in\mathbb{N}</mathtex> (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);# <mathtex>\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)</mathtex> ('''<tex>1''' </tex> не следует ни за каким натуральным числом);# Если <mathtex>S(b)=a</mathtex> и <mathtex>S(c)=a</mathtex>, тогда <mathtex>b=c</mathtex> (если натуральное число <mathtex>a</mathtex> непосредственно следует как за числом <mathtex>b</mathtex>, так и за числом <mathtex>c</mathtex>, то <mathtex>b=c</mathtex>);# '''Аксиома индукции'''. Пусть <mathtex>P(n)</mathtex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <mathtex>n</mathtex>. Тогда::: если <mathtex>P(1)</mathtex> и <mathtex>\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))</mathtex>, то <mathtex>\forall n\;P(n)</mathtex>:: ('''Если''' некоторое высказывание <mathtex>P</mathtex> верно для <mathtex>n=1</mathtex> (''база индукции'') и для любого <mathtex>n</mathtex> при допущении, что верно <mathtex>P(n)</mathtex>, верно и <mathtex>P(n+1)</mathtex> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <mathtex>P(n)</mathtex> верно для любых натуральных <mathtex>n</mathtex>).}}

* <mathtex>0=\varnothing</mathtex>* <mathtex>S(n)=n\cup\left\{n\right\}</mathtex>

* <mathtex>0=\varnothing</mathtex>* <mathtex>1=\left\{\varnothing\right\}</mathtex>* <mathtex>2=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}</mathtex>* <mathtex>3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}</mathtex>

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают <tex>0, 1, 2, …\dots.</tex>

{{Определение|definition=Множество '''целых чисел''' (англ. ''integers'') <mathtex>\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\,</mathtex> определяется как замыкание множества натуральных чисел <mathtex>\mathbb{N}</mathtex> относительно арифметических операций сложения <tex>(+) </tex> и вычитания <tex>(-)</tex>. }}Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел <tex>(1, 2, 3)</tex>, чисел вида '''-n''' (<mathtex>n\in\mathbb{N}</mathtex>) и числа нульноль.

{{Определение|definition=Множество рациональных чисел (англ. ''rational numbers'') обозначается <mathtex>\mathbb{Q}</mathtex> и может быть записано в виде: : <mathtex>\mathbb{Q} = \left\{ \fracdfrac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}.</mathtex>}}Нужно понимать, что численно равные дроби такие как, например, <mathtex>\fracdfrac{3}{4}</mathtex> и <mathtex>\fracdfrac{9}{12}</mathtex>, входят в это множество как одно число. Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве ''несократимых'' дробей со [[Взаимно простые числа|взаимно простыми]] целым числителем и натуральным знаменателем: : <mathtex>\mathbb{Q} = \left\{ \fracdfrac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, \gcd(m,n) = 1 \right\}.</mathtex> Здесь <mathtex>\gcd(m, n)</mathtex> — наибольший общий делитель чисел <mathtex>m</mathtex> и <mathtex>n</mathtex>.

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа <mathtex>a=\fracdfrac{m}{n}</mathtex> знаменатель <mathtex>n=1</mathtex>, то <mathtex>a=m</mathtex> является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Однако, хотя кажется, что рациональных чисел больше чем целых, и тех и других счётное число (то есть оба они могут быть перенумерованы натуральными числами, причём явно).

''Oсновная статья:'' [[Вещественные числа | Вещественные числа]]{{Определение|definition='''Веще́ственное число''' (англ. ''real number'') — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений.}}

Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — <big>'''''R'''''</big> (полужирное «R»), или <mathtex>\mathbb{R}</mathtex> (blackboard bold «R») от realis — действительный.

{{Определение|definition='''Ко́мпле́ксные чи́сла''' —  (англ. ''complex number'') — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается <mathtex>\mathbb{C}</mathtex>.Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма <mathtex>x+iy</mathtex>, где <mathtex>x</mathtex> и <mathtex>y</mathtex> — вещественные числа, <mathtex>i</mathtex> — мнимая единица (одно из решений уравнения <mathtex>x^2 = -1</mathtex>).}}Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени <mathtex>n</mathtex> с комплексными коэффициентами имеет ровно <mathtex>n</mathtex> комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. ==Операции сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня== ===Сложение===

===Умножение=См. также ==*[[Натуральные числа | Натуральные числа]]*[[Вещественные числа | Вещественные числа]]*[[Простые числа | Простые числа]]*[[Основная теорема арифметики | Основная теорема арифметики]]

===Извлечение корня=Источники информации ==* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE/ Натуральные числа]* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D1%8B_%D0%9F%D0%B5%D0%B0%D0%BD%D0%BE/ Аксиомы Пеано]