Классы EXP, NEXP. Полнота языков EXP и NEXP — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 18: Строка 18:
 
Докажем, что <tex>BH_{2,D} \in EXP</tex>. Симулируем работу детерминированной машины <tex>m</tex>. Для этого потребуется время порядка <tex>t^{2}</tex>, но <tex>t \le 2^{|t|} \le 2^{|\langle m,x,t \rangle|}</tex>. Таким образом, общее время работы <tex>T \le (2^{|\langle m,x,t \rangle|})^{2} = 2^{2n}</tex> и <tex>BH_{2,D} \in EXP</tex>.
 
Докажем, что <tex>BH_{2,D} \in EXP</tex>. Симулируем работу детерминированной машины <tex>m</tex>. Для этого потребуется время порядка <tex>t^{2}</tex>, но <tex>t \le 2^{|t|} \le 2^{|\langle m,x,t \rangle|}</tex>. Таким образом, общее время работы <tex>T \le (2^{|\langle m,x,t \rangle|})^{2} = 2^{2n}</tex> и <tex>BH_{2,D} \in EXP</tex>.
 
Докажем, что любая задача из <tex>EXP</tex> сводится к <tex>BH_{2,D}</tex>. Пусть <tex>L \in EXP, MT\enskip m</tex>, допускающая язык <tex>L</tex>, работает за время <tex>T \le 2^{p(n)}</tex>, где <tex>p(n)</tex> - полином. Рассмотрим <tex>f : x \rightarrow \langle m,x,2^{p(n)} \rangle</tex> - функция сведения. Чтобы выписать свой результат на ленту ей потребуется полиномиальное от <tex>n</tex> число шагов, так как запись <tex>m</tex> имеет константную длину, <tex>|x| = n</tex> и запись числа <tex>2^{p(n)}</tex> имеет длину порядка <tex>p(n)</tex> в двоичной системе.
 
Докажем, что любая задача из <tex>EXP</tex> сводится к <tex>BH_{2,D}</tex>. Пусть <tex>L \in EXP, MT\enskip m</tex>, допускающая язык <tex>L</tex>, работает за время <tex>T \le 2^{p(n)}</tex>, где <tex>p(n)</tex> - полином. Рассмотрим <tex>f : x \rightarrow \langle m,x,2^{p(n)} \rangle</tex> - функция сведения. Чтобы выписать свой результат на ленту ей потребуется полиномиальное от <tex>n</tex> число шагов, так как запись <tex>m</tex> имеет константную длину, <tex>|x| = n</tex> и запись числа <tex>2^{p(n)}</tex> имеет длину порядка <tex>p(n)</tex> в двоичной системе.
 
== Полная задача в классе ''NEXP'' ==
 
 
Существует полная в ''NEXP'' задача
 
 
====Доказательство====
 
Полной задачей в <tex>NEXP</tex> является задача <tex>BH_{2,N}</tex>(binary nondeterministic bounded halt):
 
<tex>BH_{2,N} =\{ \langle m, x, t \rangle \mid  m(x) = 1, T(m,x) \le t \}</tex>
 
 
(<tex>t</tex> задаётся двоичной записью, <tex>m</tex> - недетерминированная машина Тьюринга)
 
 
Доказательство того, что <tex>BH_{2,N}</tex> - полная задача в <tex>NEXP</tex>, аналогично предыдушему доказательству. Заметим, что при симуляции работы <tex>НМТ</tex>, в случае недетерминированного выбора симулирующая машина тоже делает недетерминированный выбор.
 
 
Сведение совпадает с предыдущем доказательством.
 

Версия 13:41, 17 июня 2010

Определение

[math]EXP = \bigcup^{\infty}_{i=0}DTIME(2^{n^{i}})[/math]

[math]NEXP = \bigcup^{\infty}_{i=0}NTIME(2^{n^{i}})[/math]

Полная задача в классе EXP

Существует полная в EXP задача

Доказательство

Полной задачей в [math]EXP[/math] является задача [math]BH_{2,D}[/math](binary deterministic bounded halt): [math]BH_{2,D} =\{ \langle m, x, t\rangle \mid m(x) = 1, T(m,x) \le t \}[/math]

([math]t[/math] задаётся двоичной записью, [math]m[/math] - детерминированная машина Тьюринга)

Докажем, что [math]BH_{2,D} \in EXP[/math]. Симулируем работу детерминированной машины [math]m[/math]. Для этого потребуется время порядка [math]t^{2}[/math], но [math]t \le 2^{|t|} \le 2^{|\langle m,x,t \rangle|}[/math]. Таким образом, общее время работы [math]T \le (2^{|\langle m,x,t \rangle|})^{2} = 2^{2n}[/math] и [math]BH_{2,D} \in EXP[/math]. Докажем, что любая задача из [math]EXP[/math] сводится к [math]BH_{2,D}[/math]. Пусть [math]L \in EXP, MT\enskip m[/math], допускающая язык [math]L[/math], работает за время [math]T \le 2^{p(n)}[/math], где [math]p(n)[/math] - полином. Рассмотрим [math]f : x \rightarrow \langle m,x,2^{p(n)} \rangle[/math] - функция сведения. Чтобы выписать свой результат на ленту ей потребуется полиномиальное от [math]n[/math] число шагов, так как запись [math]m[/math] имеет константную длину, [math]|x| = n[/math] и запись числа [math]2^{p(n)}[/math] имеет длину порядка [math]p(n)[/math] в двоичной системе.