Классы NP, coNP, Σ₁, Π₁ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Примеры NP-языков)
Строка 15: Строка 15:
 
*<tex>\mathrm{\Sigma_1} \subset \mathrm{NP}</tex>.
 
*<tex>\mathrm{\Sigma_1} \subset \mathrm{NP}</tex>.
 
Пусть <tex>L \in \mathrm{\Sigma_1}</tex>. Тогда существуют <tex>R(x,y)</tex> и полином <tex>p</tex> из определения <tex>\mathrm{\Sigma_1}</tex>. Построим недетерминированную программу <tex>q(x)</tex>, разрешающую <tex>L</tex>.
 
Пусть <tex>L \in \mathrm{\Sigma_1}</tex>. Тогда существуют <tex>R(x,y)</tex> и полином <tex>p</tex> из определения <tex>\mathrm{\Sigma_1}</tex>. Построим недетерминированную программу <tex>q(x)</tex>, разрешающую <tex>L</tex>.
   <tex>q(x):</tex>
+
   q(x):
     <tex>y\leftarrow?\{0,1\}^{\le p(|x|)}</tex>
+
     y <tex>\leftarrow?\{0,1\}^{\le p(|x|)}</tex>
     <tex>return</tex> <tex>R(x,y)</tex>
+
     return <tex>R(x,y)</tex>
 
Если <tex>x\in L</tex>, то программа сможет «угадать» подходящий сертификат. Если <tex>x\notin L</tex>, то подходящего сертификата не существует по определению. Таким образом, <tex>q</tex> разрешает <tex>L</tex>, следовательно <tex>L\in \mathrm{NP}</tex>.
 
Если <tex>x\in L</tex>, то программа сможет «угадать» подходящий сертификат. Если <tex>x\notin L</tex>, то подходящего сертификата не существует по определению. Таким образом, <tex>q</tex> разрешает <tex>L</tex>, следовательно <tex>L\in \mathrm{NP}</tex>.
 
*<tex>\mathrm{NP} \subset \mathrm{\Sigma_1}</tex>.
 
*<tex>\mathrm{NP} \subset \mathrm{\Sigma_1}</tex>.
Строка 36: Строка 36:
  
 
1. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1\cap L_2</tex>:
 
1. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1\cap L_2</tex>:
   <tex>r(x):</tex>
+
   r(x):
    <tex>return</tex> <tex>p(x)</tex> <tex>\&\&</tex> <tex>q(x)</tex>
+
  return p(x) <tex>\&\&</tex> q(x)  
 
2. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1\cup L_2</tex>:
 
2. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1\cup L_2</tex>:
   <tex>r(x):</tex>
+
   r(x):
    <tex>return</tex> <tex>p(x)</tex> <tex>||</tex> <tex>q(x)</tex>
+
  return p(x) <tex>||</tex> q(x)  
 
3. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1L_2</tex>:
 
3. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1L_2</tex>:
   <tex>r(x):</tex>
+
   r(x):
     <tex>n\leftarrow|x|</tex>
+
     n <tex>\leftarrow|x|</tex>
     <tex>mid\leftarrow?\{1..n\}</tex>
+
     mid <tex>\leftarrow?</tex> {1..n}
     <tex>return</tex> <tex>p(x[1..mid])</tex> <tex>\&\&</tex> <tex>q(x[mid+1..n])</tex>
+
     return p(x[1..mid]) <tex>\&\&</tex> q(x[mid+1..n])
 
4. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1^*</tex>:
 
4. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1^*</tex>:
   <tex>r(x):</tex>
+
   r(x):
     <tex>n\leftarrow|x|</tex>
+
     n <tex>\leftarrow|x|</tex>
     <tex>prev\leftarrow 1</tex>
+
     prev <tex>\leftarrow</tex> 1
     <tex>do</tex>
+
     do
       <tex>cur\leftarrow?\{prev..n\}</tex>
+
       cur <tex>\leftarrow?</tex> {prev..n}
       <tex>if</tex> <tex>(!p(x[prev..cur]))</tex>
+
       if (!p(x[prev..cur]))
         <tex>return</tex> <tex>false</tex>
+
         return false
       <tex>prev\leftarrow cur+1</tex>
+
       prev <tex>\leftarrow</tex> cur+1
     <tex>while</tex> <tex>(cur</tex> <tex>!=</tex> <tex>n)</tex>
+
     while (cur != n)
     <tex>return</tex> <tex>true</tex>
+
     return true
 
<br>
 
<br>
 
}}
 
}}

Версия 16:09, 5 июня 2012

Определение

Определение:
[math]\mathrm{NP}=\bigcup\limits_{p(n) \in poly}\mathrm{NTIME}(p(n))[/math].

То есть [math]\mathrm{NP}[/math] — это множество языков, разрешимых недетерминированной программой за полиномиальное время.

Определение:
[math]\mathrm{\Sigma_1}=\{L\bigm|\exists R(x,y)\in \tilde{\mathrm{P}}, p(n) - poly:x\in L\Leftrightarrow\exists y : |y|\le p(|x|), R(x,y)=1\}[/math].

Нестрого говоря, [math]\mathrm{\Sigma_1}[/math] — это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор [math]R(x,y)[/math], а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) можно предъявить сертификат полиномиальной длины, подтверждающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором.

Теорема:
[math]\mathrm{\Sigma_1}=\mathrm{NP}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  • [math]\mathrm{\Sigma_1} \subset \mathrm{NP}[/math].

Пусть [math]L \in \mathrm{\Sigma_1}[/math]. Тогда существуют [math]R(x,y)[/math] и полином [math]p[/math] из определения [math]\mathrm{\Sigma_1}[/math]. Построим недетерминированную программу [math]q(x)[/math], разрешающую [math]L[/math].

 q(x):
   y [math]\leftarrow?\{0,1\}^{\le p(|x|)}[/math]
   return [math]R(x,y)[/math]

Если [math]x\in L[/math], то программа сможет «угадать» подходящий сертификат. Если [math]x\notin L[/math], то подходящего сертификата не существует по определению. Таким образом, [math]q[/math] разрешает [math]L[/math], следовательно [math]L\in \mathrm{NP}[/math].

  • [math]\mathrm{NP} \subset \mathrm{\Sigma_1}[/math].
Пусть [math]L\in \mathrm{NP}[/math]. Тогда существует недетерминированная программа [math]q(x)[/math], разрешающая этот язык. Построим верификатор [math]R(x,y)[/math]. В качестве сертификата будем использовать последовательность выборов в программе [math]q[/math], приводящую к допуску слова (такой сертификат имеет полиномиальную длину, поскольку выборов в [math]q[/math] может быть сделано не более, чем время ее работы, то есть не более, чем полином). Верификатор будет аналогичен программе [math]q[/math], только вместо каждого недетерминированного выбора он будет присваивать значение, указанное в сертификате. Если [math]x\in L[/math], то в [math]q[/math] существует последовательность выборов таких, что [math]q(x)=1[/math], следовательно существует и верный сертификат. Если [math]x\notin L[/math], то для любой последовательности выборов [math]q(x)=0[/math], следовательно подходящего сертификата не существует. Таким образом, [math]L \in \mathrm{\Sigma_1}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Примечание: определение [math]\mathrm{\Sigma_1}[/math] часто называют также «определением NP на языке сертификатов».

Свойства

Теорема:
Пусть [math]L_1,L_2\in \mathrm{NP}[/math]. Тогда:
  1. [math]L_1\cap L_2\in \mathrm{NP}[/math];
  2. [math]L_1\cup L_2\in \mathrm{NP}[/math];
  3. [math]L_1L_2\in \mathrm{NP}[/math];
  4. [math]L_1^*\in \mathrm{NP}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]p[/math] разрешает [math]L_1[/math], а [math]q[/math] разрешает [math]L_2[/math].

1. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1\cap L_2[/math]:

 r(x):
  return p(x) [math]\&\&[/math] q(x) 

2. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1\cup L_2[/math]:

 r(x):
  return p(x) [math]||[/math] q(x) 

3. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1L_2[/math]:

 r(x):
   n [math]\leftarrow|x|[/math]
   mid [math]\leftarrow?[/math] {1..n}
   return p(x[1..mid]) [math]\&\&[/math] q(x[mid+1..n])

4. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1^*[/math]:

 r(x):
   n [math]\leftarrow|x|[/math]
   prev [math]\leftarrow[/math] 1
   do
     cur [math]\leftarrow?[/math] {prev..n}
     if (!p(x[prev..cur]))
       return false
     prev [math]\leftarrow[/math] cur+1
   while (cur != n)
   return true

[math]\triangleleft[/math]

Примеры NP-языков

  • Язык раскрасок графа в [math]k[/math] цветов;
  • Задача о клике;
  • Тетрис

Все эти языки также являются [math]\mathrm{NP}[/math]-полными. О существовании [math]\mathrm{NP}[/math] языка, не являющегося [math]\mathrm{NP}[/math]-полным гласит теорема Ладнера.

Связь P и NP

Очевидно, что [math]\mathrm{P} \subseteq \mathrm{NP}[/math], так как детерминированные программы можно рассматривать как недетерминированные, в которых не используется недетерминированный выбор. Вопрос о равенстве данных классов до сих пор остается открытым. Были осуществлены различные подходы к разрешению этой задачи: попытка найти редкий [math]\mathrm{NP}[/math]-полный язык; было доказано, что доказательство должно быть нерелятивизующимся; различные попытки найти полиномиальные решения для задач из [math]\mathrm{NPC}[/math]:

Некоторые задачи из [math]\mathrm{P}[/math] очень похожи на задачи из [math]\mathrm{NP}[/math]. В каждой из приведенных ниже пар задач первая разрешима за полиномиальное время, а вторая является [math]\mathrm{NP}[/math]-полной. При этом различие между задачами кажется совершенно незначительным.

См. также