202
правки
Изменения
Нет описания правки
== Определения, связь Σ₁ и NP ==
{{Определение
|id=def1|definition=<tex>\mathrm{NP}=\!\!\bigcup\limits_{p(n) \in \mathit{poly}}\!\!\operatorname{NTIME}(p(n))</tex>.
}}
То есть <tex>\mathrm{NP}</tex> — это множество языков, разрешимых [[Недетерминированные вычисления|недетерминированной программой]] за полиномиальное время.
То есть <tex>\mathrm{coNP}</tex> — это множество языков, дополнение к которым лежит в <tex>\mathrm{NP}</tex>.
{{Определение
|definition=<tex>\mathrm{\Sigma_1}=\{L\bigm|\exists R(x,y)\in \tilde{\mathrm{P}}, p(n) \in \mathit{poly } : x\in L\Leftrightarrow\exists y : |y|\leqslant p(|x|), R(x,y)=1\}</tex>.
}}
Нестрого говоря, <tex>\mathrm{\Sigma_1}</tex> — это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор <tex>R(x,y)</tex>, а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) можно предъявить сертификат полиномиальной длины, подтверждающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором.
{{Определение
|definition=<tex>\mathrm{\Pi_1}=\{L\bigm|\exists R(x,y)\in \tilde{\mathrm{P}}, p(n) \in \mathit{poly } : x\in L\Leftrightarrow\forall y : |y|\leqslant p(|x|), R(x,y)=1\}</tex>.
}}
То есть <tex>\Pi_1</tex> — это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор <tex>R(x,y)</tex>, а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) нельзя предъявить сертификат длины, ограниченной неким полиномом, опровергающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором. Легко видеть, что <tex>\Pi_1</tex> — множество языков, дополнения к которым лежат в <tex>\Sigma_1</tex>.
Пусть <tex>p</tex> разрешает <tex>L_1</tex>, а <tex>q</tex> разрешает <tex>L_2</tex>.
:1. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1\cap L_2</tex>за полиномиальное время:
<tex>r(x)\colon</tex>
'''return''' <tex>p(x)</tex> '''and''' <tex>q(x)</tex>
:2. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1\cup L_2</tex>за полиномиальное время:
<tex>r(x)\colon</tex>
'''return''' <tex>p(x)</tex> '''or''' <tex>q(x)</tex>
:3. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1L_2</tex>за полиномиальное время:
<tex>r(x)\colon</tex>
<tex>n = |x|</tex>
<tex>mid \gets?\ \{1 \mathinner{\ldotp\ldotp} n\}</tex>
'''return''' <tex>p(x[1 \mathinner{\ldotp\ldotp} mid])</tex> '''and''' <tex>q(x[mid+1 \mathinner{\ldotp\ldotp} n])</tex>
:4. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1^*</tex>за полиномиальное время:
<tex>r(x)\colon</tex>
<tex>n = |x|</tex>
== Примеры языков из NP ==
=== Язык палиндромов ===
Этот язык разрешается автоматом с магазинной памятью, то есть принадлежит <tex>\mathrm P</tex>, а следовательно, и <tex>\mathrm{NP}</tex>.
=== Язык задачи о раскраске вершин графа в <tex>k</tex> цветов ===
{{main|Раскраска графа}}
=== Язык гамильтоновых графов ===
{{main|Гамильтоновы графыNP-полнота задач о гамильтоновом цикле и пути в графах}}Рассмотрим следующий язык: <tex>\mathrm{HAM} = \{ G \mid G</tex> содержит гамильтонов цикл<tex>\}</tex>. Он разрешается следующей программой, работающей за полиномиальное относительно числа вершин время:
<tex>r(G)\colon</tex>
<tex>n = |V(G)|</tex>
'''if''' <tex>p[i]p[i + 1] \notin E(G)</tex>
'''return''' ''false''
'''return''' ''true''
== Примеры языков из coNP ==
=== TAUT ===
{{main|Теорема Бермана — Форчуна}}
Язык булевых формул, являющихся тавтологиями. К этому языку тривиально сводится дополнение к <tex>\mathrm{SAT}</tex>: если отрицание формулы невыполнимо, то она является тавтологией, и наоборот.
== Связь P и NP ==
Очевидно, что <tex>\mathrm{P} \subseteq \mathrm{NP}</tex>, так как детерминированные программы можно рассматривать как недетерминированные, в которых не используется недетерминированный выбор. Вопрос о равенстве данных классов до сих пор остается открытым. Были осуществлены различные подходы к разрешению этой задачи: попытка найти [[Теорема_Махэни|редкий <tex>\mathrm{NP}</tex>-полный язык]]; было доказано, что [[Теорема_Бейкера_—_Гилла_—_Соловэя|доказательство должно быть нерелятивизующимся]]; .Кроме того, были предприняты различные попытки найти полиномиальные решения для задач из <tex>\mathrm{NPC}</tex>:*«решение» 3SAT за полиномиальное время<ref>[http://arxiv.org/abs/1011.3944 Non-Orthodox Combinatorial Models Based on Discordant Structures]</ref>*задача о коммивояжёре<ref>[http://www.cse.yorku.ca/~aaw/Zambito/TSP_Survey.pdf The Traveling Salesman Problem: A Comprehensive Survey]</ref>.
Некоторые задачи из <tex>\mathrm{P}</tex> очень похожи на задачи из <tex>\mathrm{NP}</tex>, при этом различие между задачами кажется совершенно незначительным:
!Принадлежит <tex>\mathrm P</tex>||<tex>\mathrm{NP}</tex>-полная
|-
|[[Обход_в_ширину|Поиск самых коротких простых путей]]||Поиск самых длинных простых путей<ref>[//en.wikipedia.org/wiki/Longest_path_problem Поиск самых длинных простых путейLongest path problem - Wikipedia]</ref>
|-
|[[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|Эйлеров цикл]]||[[Гамильтоновы_графыNP-полнота задач о гамильтоновом цикле и пути в графах|Гамильтонов цикл]]
|-
|[http://www.math.ucsd.edu/~sbuss/CourseWeb/Math268_2007WS/[2SAT.pdf |2-CNF выполнимость]]||[[Примеры NP-полных языков#NP-полнота 3-SAT|3-CNF выполнимость]]
|}
== См. также ==
* [[Недетерминированные вычисления]]
== Примечания ==
<references/>
[[Категория: Теория Классы сложности]][[Категория: Раскраски графовДетерминированные и недетерминированные вычисления, сложность по времени и по памяти ]][[Категория: Классы P и NP, NP-полнота]]
