Классы PH, Σ и Π

Классы Σ и Π

Определение:

[math]\Sigma_{i} = \{L \bigm| \exists R(x,y_{1},\cdots,y_{i}) \in \mathrm{P}, p[/math] — [math]poly : \forall x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \forall y_{2} \exists y_{3} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_{j}|~\le~p(|x|), R(x,y_{1},\cdots,y_{i})\},[/math] где [math]L[/math] — формальный язык [math],Q = \exists[/math] для [math]i = 2k$-$1,[/math] [math]Q = \forall[/math] для [math]i = 2k[/math].

Определение:

[math]\Pi_{i} = \{L \bigm| \exists R(x, y_{1},\cdots,y_{i}) \in \mathrm{P}, p[/math] — [math]poly : \forall x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \exists y_{2} \forall y_{3} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_{j}|~\le~p(|x|), R(x, y_{1}, \cdots, y_{i}) \},[/math] где [math]L[/math] — формальный язык [math],Q = \forall[/math] для [math]i = 2k$-$1,[/math] [math]Q = \exists[/math] для [math]i = 2k[/math].

Соотношения между классами Σ и Π

Теорема:

[math]\Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L \in \Sigma_{i} \Rightarrow \exists R : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \cdots Q y_{i} : R(x,y_{1},\cdots,y_{i}), \forall j |y_{j}| \le poly(|x|)[/math]. Проверим, что [math]L \in \Sigma_{i+1} \Leftrightarrow \exists R' : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \cdots Q y_{i} \bar{Q} y_{i+1} : R'(x,y_{1},\cdots,y_{i},y_{i+1})[/math]. [math]R'(x,y_{1},\cdots,y_{i+1})[/math] { return [math]R(x,y_{1},\cdots,y_{i})[/math]; } Проверим, что [math]L \in \Pi_{i+1} \Leftrightarrow \exists R'' : x \in L \Leftrightarrow \forall y_{0} \exists y_{1} \cdots Q y_{i} : R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})[/math]. [math]R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})[/math] { return [math]R(x,y_{1},\cdots,y_{i})[/math]; } Таким образом, [math]\Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Sigma_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]\Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L \in \Pi_{i} \Rightarrow \exists R : x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \cdots Q y_{i} : R(x,y_{1},\cdots,y_{i}), \forall j |y_{j}| \le poly(|x|)[/math]. Проверим, что [math]L \in \Pi_{i+1} \Leftrightarrow \exists R' : x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \cdots Q y_{i} \bar{Q} y_{i+1} : R'(x,y_{1},\cdots,y_{i},y_{i+1})[/math]. [math]R'(x,y_{1},\cdots,y_{i+1})[/math] { return [math]R(x,y_{1},\cdots,y_{i})[/math]; } Проверим, что [math]L \in \Sigma_{i+1} \Leftrightarrow \exists R'' : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{0} \forall y_{1} \cdots Q y_{i} : R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})[/math]. [math]R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})[/math] { return [math]R(x,y_{1},\cdots,y_{i})[/math]; } Таким образом, [math]\Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Pi_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]\Sigma_{i} = \mathrm{co\Pi_{i}}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\mathrm{co\Pi_{i}} = \{L \bigm| \exists R(x,y_{1},\cdots,y_{i}) \in \mathrm{P}, p[/math] — [math]poly: x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \forall y_{2} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_j|~\le~p(|x|), R(x,y_{1},\cdots,y_{i})\}.[/math] Из самого выражения для [math]\mathrm{co\Pi_{i}}[/math] очевидно равенство.

[math]\triangleleft[/math]

Класс PH

Определение:

[math]\mathrm{PH_{1}} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} \Sigma_{i}[/math]. [math]\mathrm{PH_{2}} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} \Pi_{i}[/math]. [math]\mathrm{PH_{3}} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} (\Sigma_{i} \cup \Pi_{i})[/math].

Теорема:

Все три определения класса [math]PH[/math] эквивалентны, т.е. [math]\mathrm{PH_{1}} = \mathrm{PH_{2}} = \mathrm{PH_{3}}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Sigma_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \mathrm{PH_{1}} \subset \mathrm{PH_{2}}[/math]. [math]\Pi_{i} \subset (\Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}) \subset (\Sigma_{i+1} \cup \Pi_{i+1}) \Rightarrow \mathrm{PH_{2}} \subset \mathrm{PH_{3}}[/math]. [math]\Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \Rightarrow \mathrm{PH_{3}} \subset \mathrm{PH_{1}}[/math]. Таким образом, [math]\mathrm{PH_{1}} \subset \mathrm{PH_{2}} \subset \mathrm{PH_{3}} \subset \mathrm{PH_{1}}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]\mathrm{PH} \subset \mathrm{PS}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L \in \Sigma_{i} \Rightarrow \exists R : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \cdots Q y_{i} : R(x,y_{1},\cdots,y_{i}), \forall j |y_{j}| \le poly(|x|)[/math]. То есть, для перебора всех возможных значений [math]y_{j}[/math] потребуется не более, чем [math]i \cdot poly(|x|)[/math] памяти. Заметим, что [math]i \cdot poly(|x|)[/math] тоже полином. Таким образом, для любого формального языка из [math]\mathrm{PH}[/math] существует программа, разрешающая его на полиномиальной памяти. То есть, любой формальный язык из [math]\mathrm{PH}[/math] принадлежит [math]\mathrm{PS}[/math].

[math]\triangleleft[/math]