Классы RP и coRP — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Определения)
м (Теорема об эквивалентности определений)
Строка 24: Строка 24:
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>\mathrm{RP_{weak}} \subset \mathrm{RP}\colon</tex><br/>
 
<tex>\mathrm{RP_{weak}} \subset \mathrm{RP}\colon</tex><br/>
Рассмотрим язык <tex>L \in \mathrm{RP_{weak}}</tex>. Этому языку соответсвует программа <tex>m_{\mathrm{RP_{weak}}}</tex>. Для доказательства утверждения необходимо написать программу <tex>m_{\mathrm{RP}}</tex>, которая будет удолетворять ограничениям сложностного класса <tex>\mathrm{RP}</tex>.
+
Рассмотрим язык <tex>L \in \mathrm{RP_{weak}}</tex>. Этому языку соответсвует программа <tex>p_{\mathrm{RP_{weak}}}</tex>. Для доказательства утверждения необходимо написать программу <tex>p_{\mathrm{RP}}</tex>, которая будет удолетворять ограничениям сложностного класса <tex>\mathrm{RP}</tex>.
  <tex>m_{\mathrm{RP}}(x)</tex>
+
  <tex>p_{\mathrm{RP}}(x)</tex>
 
     '''for''' <tex>i = 1 \ldots k</tex> // <tex>k</tex> будет определено позже
 
     '''for''' <tex>i = 1 \ldots k</tex> // <tex>k</tex> будет определено позже
         '''if''' <tex>m_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)</tex>
+
         '''if''' <tex>p_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)</tex> '''then'''
        '''then return''' <tex>1</tex>
+
            '''return''' <tex>1</tex>
 
     '''return''' <tex>0</tex>
 
     '''return''' <tex>0</tex>
Если слово <tex>x \notin L</tex>, то <tex>m_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)</tex> всегда возвращает <tex>0</tex>. Тогда <tex>P(m_{\mathrm{RP}}(x) = 0) = 1</tex>, при <tex>x \notin L</tex>. Если хотя бы один вызов программы <tex>m_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)</tex> вернёт <tex>1</tex>, то слово <tex>x \in L</tex>. Вероятность ошибки программы <tex>m_{\mathrm{RP_{weak}}}</tex> равна <tex>1-\frac{1}{q(|x|)}</tex>, то есть вероятность ошибки программы <tex>m_{\mathrm{RP}}</tex> равна <tex>(1-\frac{1}{q(|x|)})^k</tex>. <tex>k</tex> надо выбрать таким, что вероятность ошибки программы <tex>m_{\mathrm{RP}}</tex> при <tex>x \in L</tex> была меньше <tex>\frac {1}{2}</tex>. Получается неравенство <tex>(1-\frac{1}{q(|x|)})^k < \frac{1}{2}</tex>. Логарифмируя, получаем: <tex>k\ ln(1-\frac{1}{q(|x|)}) < ln(\frac{1}{2})</tex>. Разложив логарифм в ряд Тейлора, получаем <tex>k(-\frac{1}{q(|x|)} + o(\frac{1}{q(|x|)})) < -ln(2)</tex>. Отсюда <tex>k > q(|x|)ln(2)</tex>.
+
Если слово <tex>x \notin L</tex>, то <tex>p_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)</tex> всегда возвращает <tex>0</tex>. Тогда <tex>P(p_{\mathrm{RP}}(x) = 0) = 1</tex>, при <tex>x \notin L</tex>. Если хотя бы один вызов программы <tex>p_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)</tex> вернёт <tex>1</tex>, то слово <tex>x \in L</tex>. Вероятность ошибки программы <tex>p_{\mathrm{RP_{weak}}}</tex> меньше, чем <tex>1-\frac{1}{q(|x|)}</tex>, то есть вероятность ошибки программы <tex>p_{\mathrm{RP}}</tex> меньше, чем <tex>(1-\frac{1}{q(|x|)})^k</tex>. <tex>k</tex> надо выбрать таким, что вероятность ошибки программы <tex>m_{\mathrm{RP}}</tex> при <tex>x \in L</tex> была меньше <tex>\frac {1}{2}</tex>. Получается неравенство <tex>(1-\frac{1}{q(|x|)})^k < \frac{1}{2}</tex>. Логарифмируя, получаем:<br/> <tex>k\ ln(1-\frac{1}{q(|x|)}) < ln(\frac{1}{2})</tex>.<br/> Разложив логарифм в ряд Тейлора, получаем<br/> <tex>k(-\frac{1}{q(|x|)} + o(\frac{1}{q(|x|)})) < -ln(2)</tex>. Отсюда <tex>k > q(|x|)ln(2)</tex>.
  
 
<tex>\mathrm{RP} \subset \mathrm{RP_{weak}}\colon</tex><br/>
 
<tex>\mathrm{RP} \subset \mathrm{RP_{weak}}\colon</tex><br/>
 
Доказательство аналогично предыдущему пункту.
 
Доказательство аналогично предыдущему пункту.
  <tex>m_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)</tex>
+
  <tex>p_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)</tex>
 
     '''for''' <tex>i = 1 \ldots k</tex> // <tex>k</tex> будет определено позже
 
     '''for''' <tex>i = 1 \ldots k</tex> // <tex>k</tex> будет определено позже
         '''if''' <tex>m_{\mathrm{RP}}(x)</tex>
+
         '''if''' <tex>p_{\mathrm{RP}}(x)</tex> '''then'''
        '''then return''' <tex>1</tex>
+
            '''return''' <tex>1</tex>
 
     '''return''' <tex>0</tex>
 
     '''return''' <tex>0</tex>
Но здесь <tex>k</tex> выбирается так, чтобы выполнялось неравенство <tex>(\frac{1}{2})^k < \frac{1}{q(|x|)}</tex>. Из него получается, что <tex>k > log_2(q(|x|))</tex>.
+
Но здесь <tex>k</tex> выбирается так, чтобы выполнялось неравенство<br/> <tex>(\frac{1}{2})^k < \frac{1}{q(|x|)} \Leftrightarrow k > log_2(q(|x|))</tex>.
  
 
<tex>\mathrm{RP} \subset \mathrm{RP_{strong}}\colon</tex><br/>
 
<tex>\mathrm{RP} \subset \mathrm{RP_{strong}}\colon</tex><br/>

Версия 10:07, 3 июня 2012

Определения

Определение:
Сложностный класс [math]\mathrm{RP}[/math] состоит из языков [math]L[/math] таких, что существует программа [math]p[/math], которая работает за полиномиальное время, и:
  1. [math]x \notin L \Rightarrow P(p(x) = 0) = 1[/math];
  2. [math]x \in L \Rightarrow P(p(x) = 1) \geq \frac{1}{2}[/math].


Определение:
Сложностный класс [math]\mathrm{RP_{weak}}[/math] состоит из языков [math]L[/math] таких, что существует программа [math]p[/math], которая работает за полиномиальное время, и:
  1. [math]x \notin L \Rightarrow P(p(x) = 0) = 1[/math];
  2. [math]x \in L \Rightarrow P(p(x) = 1) \geq \frac{1}{q(|x|)}[/math], где [math]q(|x|)[/math] — некоторый полином, [math]q(|x|) \geq 1[/math].


Определение:
Сложностный класс [math]\mathrm{RP_{strong}}[/math] состоит из языков [math]L[/math] таких, что существует программа [math]p[/math], которая работает за полиномиальное время, и:
  1. [math]x \notin L \Rightarrow P(p(x) = 0) = 1[/math];
  2. [math]x \in L \Rightarrow P(p(x) = 1) \geq 1 - \frac{1}{2^{q(|x|)}}[/math], где [math]q(|x|)[/math] — некоторый полином.


Теорема об эквивалентности определений

Теорема:
[math]\mathrm{RP}=\mathrm{RP_{weak}}=\mathrm{RP_{strong}}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\mathrm{RP_{weak}} \subset \mathrm{RP}\colon[/math]
Рассмотрим язык [math]L \in \mathrm{RP_{weak}}[/math]. Этому языку соответсвует программа [math]p_{\mathrm{RP_{weak}}}[/math]. Для доказательства утверждения необходимо написать программу [math]p_{\mathrm{RP}}[/math], которая будет удолетворять ограничениям сложностного класса [math]\mathrm{RP}[/math].

[math]p_{\mathrm{RP}}(x)[/math]
    for [math]i = 1 \ldots k[/math] // [math]k[/math] будет определено позже
        if [math]p_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)[/math] then
            return [math]1[/math]
    return [math]0[/math]

Если слово [math]x \notin L[/math], то [math]p_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)[/math] всегда возвращает [math]0[/math]. Тогда [math]P(p_{\mathrm{RP}}(x) = 0) = 1[/math], при [math]x \notin L[/math]. Если хотя бы один вызов программы [math]p_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)[/math] вернёт [math]1[/math], то слово [math]x \in L[/math]. Вероятность ошибки программы [math]p_{\mathrm{RP_{weak}}}[/math] меньше, чем [math]1-\frac{1}{q(|x|)}[/math], то есть вероятность ошибки программы [math]p_{\mathrm{RP}}[/math] меньше, чем [math](1-\frac{1}{q(|x|)})^k[/math]. [math]k[/math] надо выбрать таким, что вероятность ошибки программы [math]m_{\mathrm{RP}}[/math] при [math]x \in L[/math] была меньше [math]\frac {1}{2}[/math]. Получается неравенство [math](1-\frac{1}{q(|x|)})^k \lt \frac{1}{2}[/math]. Логарифмируя, получаем:
[math]k\ ln(1-\frac{1}{q(|x|)}) \lt ln(\frac{1}{2})[/math].
Разложив логарифм в ряд Тейлора, получаем
[math]k(-\frac{1}{q(|x|)} + o(\frac{1}{q(|x|)})) \lt -ln(2)[/math]. Отсюда [math]k \gt q(|x|)ln(2)[/math].

[math]\mathrm{RP} \subset \mathrm{RP_{weak}}\colon[/math]
Доказательство аналогично предыдущему пункту.

[math]p_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)[/math]
    for [math]i = 1 \ldots k[/math] // [math]k[/math] будет определено позже
        if [math]p_{\mathrm{RP}}(x)[/math] then
            return [math]1[/math]
    return [math]0[/math]

Но здесь [math]k[/math] выбирается так, чтобы выполнялось неравенство
[math](\frac{1}{2})^k \lt \frac{1}{q(|x|)} \Leftrightarrow k \gt log_2(q(|x|))[/math].

[math]\mathrm{RP} \subset \mathrm{RP_{strong}}\colon[/math]
Напишем программу [math]m_{\mathrm{RP_{strong}}}[/math], удолетворяющую ограничениям сложностного класса [math]\mathrm{RP_{strong}}[/math].

[math]m_{\mathrm{RP_{strong}}}(x)[/math]
    for [math]i = 1 \ldots k[/math] // [math]k[/math] будет определено позже
        if [math]m_{\mathrm{RP}}(x)[/math]
        then return [math]1[/math]
    return [math]0[/math]

В этом случае [math]k[/math] необходимо выбрать таким, что должно выполняться неравенство [math](\frac{1}{2})^k \lt 1 - \frac{1}{2^{q(|x|)}} \Leftrightarrow k \gt -log_{2}(1-\frac{1}{2^{q(|x|)}})[/math]. Разложив в ряд Тейлора получаем, что [math]-log_{2}(1-\frac{1}{2^{q(|x|)}}) = \frac{2^{-q(|x|)}}{ln(2)} + o(2^{-q(|x|)}) = \frac{(1+q(|x|)+o(q(|x|)))^{ln(\frac{1}{2})}}{ln(2)} \lt \frac{1+q(|x|)}{ln(2)}[/math]. То есть [math]k[/math] надо взять больше, чем [math]\frac{1+q(|x|)}{ln(2)}[/math].

[math]\mathrm{RP_{strong}} \subset \mathrm{RP}\colon[/math]
Для доказательства утверждения необходимо написать программу [math]m_{\mathrm{RP}}[/math], которая будет удолетворять ограничениям сложностного класса [math]\mathrm{RP}[/math].

[math]m_{\mathrm{RP}}(x)[/math]
    for [math]i = 1 \ldots k[/math] // [math]k[/math] будет определено позже
        if [math]m_{\mathrm{RP_{strong}}}(x)[/math]
        then return [math]1[/math]
    return [math]0[/math]
[math]k[/math] надо выбрать таким, чтобы выполнялось неравенство [math](\frac{1}{2^{q(|x|)}})^k \lt \frac{1}{2}[/math]. Отсюда [math]k \gt \frac{1}{q(|x|)}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

См. также