Классы RP и coRP

Материал из Викиконспекты
Версия от 20:18, 23 мая 2012; Andrey.Eremeev (обсуждение | вклад) (Теорема об эквивалентности определений)
Перейти к: навигация, поиск

Определения

Определение:
Сложностный класс [math]\mathrm{RP}[/math] состоит из языков [math]L[/math] таких, что существует программа [math]m[/math], которая работает за полиномиальное время, и:
  1. [math]x \notin L \Rightarrow P(m(x) = 0) = 1[/math];
  2. [math]x \in L \Rightarrow P(m(x) = 1) \geq \frac{1}{2}[/math].


Определение:
Сложностный класс [math]\mathrm{RP_{weak}}[/math] состоит из языков [math]L[/math] таких, что существует программа [math]m[/math], которая работает за полиномиальное время, и:
  1. [math]x \notin L \Rightarrow P(m(x) = 0) = 1[/math];
  2. [math]x \in L \Rightarrow P(m(x) = 1) \geq \frac{1}{q(|x|)}[/math], где [math]q(|x|)[/math] — некоторый полином, [math]q(|x|) \geq 1[/math].


Определение:
Сложностный класс [math]\mathrm{RP_{strong}}[/math] состоит из языков [math]L[/math] таких, что существует программа [math]m[/math], которая работает за полиномиальное время, и:
  1. [math]x \notin L \Rightarrow P(m(x) = 0) = 1[/math];
  2. [math]x \in L \Rightarrow P(m(x) = 1) \geq 1 - \frac{1}{2^{q(|x|)}}[/math], где [math]q(|x|)[/math] — некоторый полином, [math]q(|x|) \geq 1[/math].

Теорема об эквивалентности определений

Теорема:
[math]\mathrm{RP}=\mathrm{RP_{weak}}=\mathrm{RP_{strong}}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\mathrm{RP_{strong}} \subset \mathrm{RP}\colon[/math]
Рассмотрим язык [math]L \in \mathrm{RP_{strong}}[/math]. Этому языку соответсвует программа [math]m_{\mathrm{RP_{strong}}}[/math]. Для доказательства утверждения необходимо написать программу [math]m_{\mathrm{RP}}[/math], которая будет удолетворять ограничениям сложностного класса [math]\mathrm{RP}[/math]. В качестве программы [math]m_{\mathrm{RP}}[/math] можно взять программу [math]m_{\mathrm{RP_{strong}}}[/math], так как [math]1 - \frac{1}{2^p} \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow p \geq 1[/math]. То есть программа [math]m_{\mathrm{RP_{strong}}}[/math] удолетворяет ограничениям сложностного класса [math]\mathrm{RP}[/math].
[math]\mathrm{RP} \subset \mathrm{RP_{weak}}\colon[/math]
Доказательство такое же, как в предыдущем пункте.
[math]\mathrm{RP_{weak}} \subset \mathrm{RP}\colon[/math]
Рассмотрим язык [math]L \in \mathrm{RP_{weak}}[/math]. Этому языку соответсвует программа [math]m_{\mathrm{RP_{weak}}}[/math]. Для доказательства утверждения необходимо написать программу [math]m_{\mathrm{RP}}[/math], которая будет удолетворять ограничениям сложностного класса [math]\mathrm{RP}[/math].

[math]m_{\mathrm{RP}}(x)[/math]
    [math]f = 0[/math] // столько раз программа [math]m_{\mathrm{RP_{weak}}}[/math] вернула [math]false[/math]
    [math]t = 0[/math] // столько раз программа [math]m_{\mathrm{RP_{weak}}}[/math] вернула [math]true[/math]
    for [math]i = 1 \ldots k[/math] // [math]k[/math] будет определено позже
        if [math]m_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)[/math]
        then [math]f = f + 1[/math]
        else [math]t = t + 1[/math]
    return [math]f \gt  t \ ? \ false : true[/math]

Если слово [math]x \notin L[/math], то [math]m_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)[/math] всегда возвращает [math]false[/math]. Тогда [math]P(m_{\mathrm{RP}}(x) = 0) = 1[/math], при [math]x \notin L[/math]. [math]k[/math] надо выбрать таким, что вероятность ошибки программы [math]m_{\mathrm{RP}}[/math] при [math]x \in L[/math] была меньше [math]\frac {1}{2}[/math]. Вероятность ошибки программы равна [math](1-\frac{1}{q(|x|)})^k[/math]. Получается неравенство [math](1-\frac{1}{q(|x|)})^k \lt \frac{1}{2}[/math]. Логарифмируя, получаем: [math]k\ ln(1-\frac{1}{q(|x|)}) \lt ln(\frac{1}{2})[/math]. Разложив логарифм в ряд Тейлора, получаем [math]k(-\frac{1}{q(|x|)} + o(\frac{1}{q(|x|)})) \lt -ln(2)[/math]. Отсюда [math]k \gt q(|x|)ln(2)[/math].
[math]\mathrm{RP} \subset \mathrm{RP_{strong}}\colon[/math]

Доказательство аналогично предыдущему пункту. В этом случае [math]k[/math] необходимо выбрать таким, что должно выполняться неравенство [math](\frac{1}{2})^k \lt \frac{1}{q(|x|)}[/math]. Прологарифмировав и сократив на [math]ln(\frac{1}{2})[/math], получаем, что [math]k \gt q(|x|)[/math].
[math]\triangleleft[/math]

См. также