Изменения

В теории сложности == Определение =={{Определение|definition='''Класс P''' <tex>\mathrm{P}</tex> {{--- }} класс языков (задач), разрешимых на детерминированной машине Тьюринга за полиномиальное время, то есть :<tex>P=\bigcup_mathrm{i=0P}^{\infty} DTIME(in^i)=\bigcup_{i=0}^{bigcup\infty}\bigcup_{k=0}^limits_{p \inftyin poly} DTIME(in^kp(n))</tex><ref>[[Сложностные классы. Вычисления с оракулом]]</ref>.}}

==Определение==Язык Итого, язык <tex>L </tex> лежит в классе '''<tex>\mathrm{P''' }</tex> тогда и только тогда, когда существует такая детерминированная машина Тьюринга ''<tex>m''</tex>, что:# ''<tex>m'' </tex> завершает свою работу за полиномиальное время на любых входных данных ;# если на вход машине ''<tex>m'' </tex> подать слово <tex>l \in L</tex>, то она допустит его;# если на вход машине ''<tex>m'' </tex> подать слово <tex>l \not\in L</tex>, то она не допустит его.

==Свойства Устойчивость класса '''P'''к изменению модели вычислений ==# Замкнутость относительно дополнений. <tex> L \in P \Rightarrow \overline L \in P</tex># Замкнутость относительно сведения по КарпуМашина Тьюринга может симулировать другие модели вычислений (например, языки программирования) с не более чем полиномиальным замедлением. <tex> L \in P Благодаря этому, M \le L \Rightarrow M \in Pкласс </tex># Замкнутость относительно сведения по Куку. <tex> L \in mathrm{P , M {\le}_c L \Rightarrow M \in P</tex>на этих моделях не становится шире.

Согласно [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%81_%D0%A7%D1%91%D1%80%D1%87%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B0 тезису Чёрча-Тьюринга], любой физически реализуемый алгоритм можно реализовать на машине Тьюринга. Так что класс <tex>\mathrm{P}</tex> устойчив и в обратном преобразовании модели вычислений. == Свойства класса P =={{Теорема|statement =Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно [[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи|сведения по Карпу]]. <tex>L \in \mathrm{P}, M \le L \Rightarrow M \in \mathrm{P}</tex>.|proof =Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L</tex>, работающий за полиномиальное время.<tex> (M \leq L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\iff} ( \exists f \in \mathrm{\widetilde{P}} : w \in M \Leftrightarrow f(w) \in L ) </tex>.Построим разрешитель <tex>q</tex> для языка <tex>M</tex>. <tex>q(w):</tex> if (<tex>p(f(w))</tex>) return true return falseРазрешитель <tex>q</tex> работает за полиномиальное время, так как композиция полиномов есть полином.}}  {{Теорема|statement =<tex>D \subseteq \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{P}=\mathrm{P}^D</tex>. В частности, из этого следует, что <tex>\mathrm{P}=\mathrm{P^P}</tex>.|proof =Понятно, что <tex>\mathrm{P} \subset \mathrm{P}^D</tex>. Докажем, что <tex>\mathrm{P}^D \subset \mathrm{P}</tex>. <tex>L \in \mathrm{P}^D \Rightarrow \exists A \in D: L \in \mathrm{P}^A</tex>. Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L</tex>, работающий за полиномиальное время <tex>f(n)</tex> и использующий оракул языка <tex>A</tex>.Пусть <tex>q</tex> {{---}} разрешитель <tex>A</tex>, работающий за полиномиальное время <tex>g(n)</tex>.Представим себе разрешитель <tex>L</tex>, работающий как <tex>p</tex>, но использующий <tex>q</tex> вместо оракула <tex>A</tex>. Его время работы ограничено сверху значением <tex>f(n) + \sum\limits_{i=1}^{f(n)} g(f(n)) = f(n) + f(n) g(f(n))</tex>, что является полиномом (обращений к <tex>q</tex> максимум <tex>f(n)</tex>; на вход для <tex>q</tex> можем подать максимум <tex>f(n)</tex> данных, так как больше сгенерировать бы не успели). Значит, <tex>L \in \mathrm{P}</tex>.}}  {{Теорема|statement =Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно операций объединения, пересечения, конкатенации, замыкания Клини и дополнения. Если <tex>L_1, L_2 \in \mathrm{P}</tex>, то: <tex>L_1 \cup L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 \cap L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1^* \in \mathrm{P}</tex> и <tex>\overline{L_1} \in \mathrm{P}</tex>.|proof =Докажем замкнутость замыкания Клини. Остальные доказательства строятся аналогично. Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L_1</tex>, работающий за полиномиальное время. Построим разрешитель <tex>q</tex> для языка <tex>L_1^*</tex>. <tex>q(w):</tex> <tex>n = |w|</tex> <tex>endPoses = \{0\}</tex> //позиции, где могут заканчиваться слова, принадлежащие <tex>L_1</tex> for (<tex>i = 1 \ldots n</tex>) for (<tex>j \in endPoses</tex>) if (<tex>p(w[j+1 \ldots i])</tex>) { if (<tex>i = n</tex>) return true <tex>endPoses</tex> <tex>\cup = \{i\}</tex> } return falseХудшая оценка времени работы разрешителя <tex>q</tex> равна <tex>n^2 O(p(w))</tex>, так как в множестве <tex>endPoses</tex> может быть максимум <tex>n</tex> элементов, значит итерироваться по множеству можно за <tex>n</tex>, если реализовать его на основе битового массива, например; при этом операция добавления элемента в множество будет работать за <tex>O(1)</tex>. Итого, разрешитель <tex>q</tex> работает за полиномиальное время (так как произведение полиномов есть полином). Значит <tex>L_1^* \in \mathrm{P}</tex>.}} ==Примеры задач и языков из '''P'''==

* нахождение делителей определение связности графов;* вычисление наибольшего общего делителя;* задача линейного программирования;* проверка простоты числа .<ref>[http://www.cse.iitk.ac.in/~manindra/algebra/primality_v6.pdf M.Argawal, N.Kayal, N.Saxena, "Primes is in P"]</ref> Но существуют задачи не из <tex>\mathrm{P}</tex>, так как из [[теорема о временной иерархии|теоремы о временной иерархии]] следует, что <tex>\exists L \in \mathrm{EXP}\setminus\mathrm{P}</tex>.  {{Теорема|statement =Класс [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярных языков]] входит в класс <tex>\mathrm{P}</tex>, то есть: <tex>\mathrm{Reg} \subset \mathrm{P}</tex>.|proof =<tex>\mathrm{Reg} \subset \mathrm{TS}(язык делителей числаn, 1) \subset \mathrm{P}</tex>}}  {{Теорема|statement =Класс [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободных языков]] входит в класс <tex>\mathrm{P}</tex>, то есть: <tex>\mathrm{CFL} \subset P</tex>.|proof =<tex>\mathrm{CFL} \subset \mathrm{TS}(n^3, n^2) \subset \mathrm{P}</tex>Первое включение выполняется благодаря существованию [[Алгоритм Эрли|алгоритма Эрли]].}} == P-полные задачи ==Говоря про <tex>\mathrm{P}</tex>-[[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи#Определения трудных и полных задач|полноту]], мы, как правило, подразумеваем <tex>\mathrm{P}</tex>-полноту относительно <tex>\widetilde{\mathrm{L}}</tex>-сведения.<ref>[[Классы L, NL, coNL. NL-полнота задачи о достижимости]]</ref> {{Определение|definition=<tex>CIRCVAL = \{\langle C, x_1,\ldots,x_n\rangle \bigm| C(x_1,\ldots,x_n)= 1\}</tex>, где <tex>C</tex> это логическая схема.}} * поиск диаметра связного графа{{Теорема|statement =<tex>CIRCVAL</tex> {{---}} <tex>\mathrm{P}</tex>-полная задача.<ref>[http://www.math.sc.edu/~cooper/math778C/abct.pdf S.Arora, B.Barak, "Computational Complexity: A Modern Approach"]</ref>}}

==Задача равенства '''P''' и '''NP'''==Одним из центральных вопросов теории сложности является вопрос о равенстве классов '''P''' и [[NPКатегория: Классы сложности]], не разрешенный по сей день. Однако легко показать, что по определению, <tex> P \subset NP</tex>, так как достаточно для любой задачи класса '''P''' привести ее решение в качестве сертификата, а значит задача по определению будет входить в класс '''NP'''