Класс P — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Свойства класса P: Замена жаргонизма)
(Попытки что-то исправить (пункты от АС №3, 4, 5))
Строка 12: Строка 12:
  
 
== Свойства класса P ==
 
== Свойства класса P ==
{{Лемма
+
{{Теорема
 
|statement =
 
|statement =
 
Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно [[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи|сведения по Карпу]]. <tex>L \in \mathrm{P}, M \le L \Rightarrow M \in \mathrm{P}</tex>.
 
Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно [[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи|сведения по Карпу]]. <tex>L \in \mathrm{P}, M \le L \Rightarrow M \in \mathrm{P}</tex>.
Строка 27: Строка 27:
  
  
{{Лемма
+
{{Теорема
 
|statement =
 
|statement =
 
<tex>D \subseteq \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{P}=\mathrm{P}^D</tex>. В частности, из этого следует, что <tex>\mathrm{P}=\mathrm{P^P}</tex>.
 
<tex>D \subseteq \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{P}=\mathrm{P}^D</tex>. В частности, из этого следует, что <tex>\mathrm{P}=\mathrm{P^P}</tex>.
Строка 41: Строка 41:
  
  
{{Лемма
+
{{Теорема
 
|statement =
 
|statement =
 
Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно операций объединения, пересечения, конкатенации, замыкания Клини и дополнения. Если <tex>L_1, L_2 \in \mathrm{P}</tex>, то: <tex>L_1 \cup L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 \cap L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1^* \in \mathrm{P}</tex> и <tex>\overline{L_1} \in \mathrm{P}</tex>.
 
Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно операций объединения, пересечения, конкатенации, замыкания Клини и дополнения. Если <tex>L_1, L_2 \in \mathrm{P}</tex>, то: <tex>L_1 \cup L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 \cap L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1^* \in \mathrm{P}</tex> и <tex>\overline{L_1} \in \mathrm{P}</tex>.
Строка 62: Строка 62:
 
}}
 
}}
  
== Соотношение классов Reg и P ==
+
== Примеры задач и языков из P ==
 +
Класс задач, разрешимых за полиномиальное время достаточно широк, вот несколько его представителей:
 +
* определение связности графов;
 +
* вычисление наибольшего общего делителя;
 +
* задача линейного программирования;
 +
* проверка простоты числа.<ref>[http://www.cse.iitk.ac.in/~manindra/algebra/primality_v6.pdf M.Argawal, N.Kayal, N.Saxena, "Primes is in P"]</ref>
 +
 
 +
Но существуют задачи и не из <tex>\mathrm{P}</tex>, так как из [[теорема о временной иерархии|теореме о временной иерархии]] следует, что <tex>\exists L \in \mathrm{EXP}\setminus\mathrm{P}</tex>.
 +
 
 +
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement =
 
|statement =
Строка 68: Строка 77:
 
|proof =
 
|proof =
 
<tex>\mathrm{Reg} \subset \mathrm{TS}(n, 1) \subset \mathrm{P}</tex>
 
<tex>\mathrm{Reg} \subset \mathrm{TS}(n, 1) \subset \mathrm{P}</tex>
''Замечание.'' <tex>\mathrm{TS}</tex> {{---}} ограничение и по времени, и по памяти.
 
 
}}
 
}}
  
== Соотношение классов CFL и P ==
+
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement =
 
|statement =
Строка 79: Строка 87:
 
Первое включение выполняется благодаря существованию [[Алгоритм Эрли|алгоритма Эрли]].
 
Первое включение выполняется благодаря существованию [[Алгоритм Эрли|алгоритма Эрли]].
 
}}
 
}}
 
== Примеры задач и языков из P ==
 
Класс задач, разрешимых за полиномиальное время достаточно широк, вот несколько его представителей:
 
* определение связности графов;
 
* вычисление наибольшего общего делителя;
 
* задача линейного программирования;
 
* проверка простоты числа.<ref>[http://www.cse.iitk.ac.in/~manindra/algebra/primality_v6.pdf M.Argawal, N.Kayal, N.Saxena, "Primes is in P"]</ref>
 
 
 
По [[теорема о временной иерархии|теореме о временной иерархии]] существуют задачи и не из <tex>\mathrm{P}</tex>.
 
  
 
== Ссылки ==
 
== Ссылки ==

Версия 17:20, 4 июня 2012

Определение

Определение:
Класс [math]\mathrm{P}[/math] — класс языков (задач), разрешимых на детерминированной машине Тьюринга за полиномиальное время, то есть: [math]\mathrm{P} = \bigcup\limits_{p \in poly}DTIME(p(n))[/math][1].


Итого, язык [math]L[/math] лежит в классе [math]\mathrm{P}[/math] тогда и только тогда, когда существует такая детерминированная машина Тьюринга [math]m[/math], что:

  1. [math]m[/math] завершает свою работу за полиномиальное время на любых входных данных;
  2. если на вход машине [math]m[/math] подать слово [math]l \in L[/math], то она допустит его;
  3. если на вход машине [math]m[/math] подать слово [math]l \not\in L[/math], то она не допустит его.

Свойства класса P

Теорема:
Класс [math]\mathrm{P}[/math] замкнут относительно сведения по Карпу. [math]L \in \mathrm{P}, M \le L \Rightarrow M \in \mathrm{P}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]p[/math] — разрешитель [math]L[/math], работающий за полиномиальное время. [math] (M \leq L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\iff} ( \exists f \in \mathrm{\widetilde{P}} : w \in M \Leftrightarrow f(w) \in L ) [/math]. Построим разрешитель [math]q[/math] для языка [math]M[/math].

[math]q(w):[/math]
    if ([math]p(f(w))[/math])
        return true
    return false
Разрешитель [math]q[/math] работает за полиномиальное время, так как композиция полиномов есть полином.
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
[math]D \subseteq \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{P}=\mathrm{P}^D[/math]. В частности, из этого следует, что [math]\mathrm{P}=\mathrm{P^P}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Понятно, что [math]\mathrm{P} \subset \mathrm{P}^D[/math]. Докажем, что [math]\mathrm{P}^D \subset \mathrm{P}[/math].

[math]L \in \mathrm{P}^D \Rightarrow \exists A \in D: L \in \mathrm{P}^A[/math].

Пусть [math]p[/math] — разрешитель [math]L[/math], работающий за полиномиальное время [math]f(n)[/math] и использующий оракул языка [math]A[/math]. Пусть [math]q[/math] — разрешитель [math]A[/math], работающий за полиномиальное время [math]g(n)[/math].

Представим себе разрешитель [math]L[/math], работающий как [math]p[/math], но использующий [math]q[/math] вместо оракула [math]A[/math]. Его время работы ограничено сверху значением [math]f(n) + \sum\limits_{i=1}^{f(n)} g(f(n)) = f(n) + f(n) g(f(n))[/math], что является полиномом (обращений к [math]q[/math] максимум [math]f(n)[/math]; на вход для [math]q[/math] можем подать максимум [math]f(n)[/math] данных, так как больше сгенерировать бы не успели). Значит, [math]L \in \mathrm{P}[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
Класс [math]\mathrm{P}[/math] замкнут относительно операций объединения, пересечения, конкатенации, замыкания Клини и дополнения. Если [math]L_1, L_2 \in \mathrm{P}[/math], то: [math]L_1 \cup L_2 \in \mathrm{P}[/math], [math]L_1 \cap L_2 \in \mathrm{P}[/math], [math]L_1 L_2 \in \mathrm{P}[/math], [math]L_1^* \in \mathrm{P}[/math] и [math]\overline{L_1} \in \mathrm{P}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем замкнутость замыкания Клини. Остальные доказательства строятся аналогично.

Пусть [math]p[/math] — разрешитель [math]L_1[/math], работающий за полиномиальное время. Построим разрешитель [math]q[/math] для языка [math]L_1^*[/math].

[math]q(w):[/math]
    [math]n = |w|[/math]
    [math]endPoses = \{0\}[/math]  //позиции, где могут заканчиваться слова, принадлежащие [math]L_1[/math]
    for ([math]i = 1 \ldots n[/math])
        for ([math]j \in endPoses[/math])
            if ([math]p(w[j+1 \ldots i])[/math]) {
                if ([math]i = n[/math])
                    return true
                [math]endPoses[/math] [math]\cup = \{i\}[/math]
            }
    return false
Худшая оценка времени работы разрешителя [math]q[/math] равна [math]n^2 O(p(w))[/math], так как в множестве [math]endPoses[/math] может быть максимум [math]n[/math] элементов, значит итерироваться по множеству можно за [math]n[/math], если реализовать его на основе битового массива, например; при этом операция добавления элемента в множество будет работать за [math]O(1)[/math]. Итого, разрешитель [math]q[/math] работает за полиномиальное время (так как произведение полиномов есть полином). Значит [math]L_1^* \in \mathrm{P}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Примеры задач и языков из P

Класс задач, разрешимых за полиномиальное время достаточно широк, вот несколько его представителей:

  • определение связности графов;
  • вычисление наибольшего общего делителя;
  • задача линейного программирования;
  • проверка простоты числа.[2]

Но существуют задачи и не из [math]\mathrm{P}[/math], так как из теореме о временной иерархии следует, что [math]\exists L \in \mathrm{EXP}\setminus\mathrm{P}[/math].


Теорема:
Класс регулярных языков входит в класс [math]\mathrm{P}[/math], то есть: [math]\mathrm{Reg} \subset \mathrm{P}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]\mathrm{Reg} \subset \mathrm{TS}(n, 1) \subset \mathrm{P}[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
Класс контекстно-свободных языков входит в класс [math]\mathrm{P}[/math], то есть: [math]\mathrm{CFL} \subset P[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\mathrm{CFL} \subset \mathrm{TS}(n^3, n^2) \subset \mathrm{P}[/math]

Первое включение выполняется благодаря существованию алгоритма Эрли.
[math]\triangleleft[/math]

Ссылки