Просмотр исходного текста страницы Ковариантность и контравариантность

{{Теорема
|statement= <tex>e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)</tex>;<br>  <tex>e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)</tex>, где <tex>\Vert g^{ki}\Vert=\Vert g_{ki}\Vert^{-1}</tex>
|proof= <tex>{\{e^i\}}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>E \Longrightarrow e_k = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i}</tex>(разложение единственно)

Тогда <tex>\left\langle e_k;e_j\right\rangle = \left\langle \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i};e_j\right\rangle =  \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}\left\langle e^i;e_j\right\rangle} = \alpha_{kj}</tex>  (т.к. <tex>\left\langle e^i;e_j\right\rangle = \delta^i_j</tex>)

<tex>\left\langle e_k;e_j\right\rangle = g_{kj}</tex>, т.е <tex>g_{kj}=\alpha_{kj}</tex>

Переход от <tex>(2)</tex> к <tex>(1)</tex> производится путём умножения на обратную матрицу:

<tex>G^{-1} \vert e_{(k)} = G\cdot e^{(i)}</tex> - и приходим к равенству <tex>(1)</tex>
}}

=Ковариантные и Контрвариантные векторы в E=

пусть <tex>x =! \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i</tex> и <tex>x =! \sum\limits_{k=1}^n \xi_k e^k</tex>

{{Лемма
|about = 1
|statement = 
<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k  \ (3)</tex>  <br>
<tex>\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k  \ (4)</tex>  <br>
здесь <tex>g_{ki}</tex> и <tex>g^{ik}</tex> - [[метрический тензор]]
|proof = 
<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k</tex> <br>
<tex>\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k  =^{(1)} \sum\limits_{k=1}^n \xi_k (\sum\limits_{i=1}^n g^{ki} e_i) = \sum\limits_{i=1}^n ( \sum\limits_{k=1}^n \xi_k g^{ki}) e_i</tex> <br>
<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k</tex>
<br>
аналогично <tex>(4)</tex>
}}

Далее {{---}} <tex>E</tex> над <tex>R</tex>

<tex> g_{ik} = g_{ki} \Rightarrow \xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k  \ ( \tilde{3})</tex>

<tex> g^{ik} = g^{ki} \Rightarrow \xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k  \ ( \tilde{4})</tex>

{{Определение
|definition=
<tex>\{ \xi^1 \cdots \xi^n\}</tex> {{---}} координаты вектора <tex>x</tex> в базисе <tex> \{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> называются '''КОНТРвариантными'''. <br>
<tex>\{ \xi_1 \cdots \xi_n\}</tex> {{---}} координаты вектора <tex>x</tex> в базисе <tex> \{e^i\}_{i=1}^{n}</tex> называются '''КОвариантными'''.
}}

{{Определение
|definition=
Операция ковариантных координат на контрвариантные в соответствии с <tex>(\tilde{3})</tex> называется операцией поднятия индекса координаты.
}}

{{Определение
|definition=
Операция контрвариантных координат на ковариантные в соответствии с <tex>(\tilde{4})</tex> называется операцией опускания индекса координаты.
}}

Рассмотрим <tex>g^{ik} \xi_e </tex> {{---}} свертка к <tex>\xi^{i}</tex>   (валентность {{---}} <tex>(2,1)</tex>)

Рассмотрим <tex>\omega^{ik}_l = \omega^{ik.}_{..l}</tex>

Тогда: 1) <tex>\omega^{.k.}_{i.l} = g_is \omega^{sk.}_{..l}</tex>

2) <tex>\omega^{ikl}_{...} = g^{lt} \omega^{ik.}_{..t}</tex>

NB: Если <tex>g_{ik} = g^{ik} = \delta^i_k</tex> и <tex>G = G^{-1} = E \Rightarrow</tex>

1) <tex> \langle x;y  \rangle = \sum\limits_{i=1}^n \xi^i \eta^i </tex>

2) <tex> \xi^i = \xi_i ; \  e^i = e_i</tex>

{{Теорема
|statement=
пусть <tex> x = \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^k e_k </tex> <br>
<tex>\{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> и <tex>\{f_i\}_{i=1}^{n}</tex> - сопряженные базисы <br>
<tex>g_{ik}</tex> - [[метрический тензор]] <br>
тогда <tex>Gx = \sum\limits_{i,k=1}^{n} \xi^k g_{ki} f^i</tex>, где <tex>Gx,f^i \in E^{*}</tex>

|proof=
<tex dpi = "160">Gx = G(\sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k e_k) =
\sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k Ge_k =^{(2)} 
\sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k G(\sum\limits_{i=1}^{n}g_{ki}e^{i}) = 
\sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k(\sum\limits_{i=1}^{n} g_{ki}Ge^i) = 
\sum\limits_{i,k=1}^{n} \xi^k g_ki f^i</tex>
}}