Изменения

{{Определение|definition== Неравенство Коши <b>Ковариация случайных величин</b>: пусть <tex>\eta,\xi</tex> — Буняковского =две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом:: <tex>Cov(\eta,\xi)=E\big((\eta-E\eta)(\xi-E\xi)\big)</tex>.}}

{{Теорема| about = неравенство Коши — Буняковского| statement = Если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию <tex>\langle \eta, \xi \rangle Вычисление = Cov (\eta, \xi)</tex>, то квадрат нормы случайной величины будет равен дисперсии <tex> ||\eta||^2 = D [ \eta ], </tex> и <b>Неравенство Коши-Буняковского</b> запишется в виде:: <tex>Cov^2(\eta,\xi) \leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi]</tex>.

|proof= ДокажемВ силу линейности математического ожидания, что ковариацию можно использовать в качестве скалярного произведенияковариация может быть записана как:

1. Линейность по первому аргументу:<tex> Cov( \mu_{1}eta, \xi) = E\big((\xi - E\cdotxi)(\eta - E\eta_{1} eta)\big) = E(\xi\eta - \eta E\xi + E\mu_{2}xi E\cdoteta - \eta_{2}, xi E\xieta) = Cov</tex>:<tex>= E( \mu_{1}xi\eta) - E\xi E\eta, - E\xi) E\eta + CovE\xi E\eta = E( \mu_{2}xi\eta, ) - E\xi)E\eta </tex>

<tex>Cov( \mu_{1}\cdot\eta_{1} + \mu_{2}\cdot\eta_{2}, \xi) = E( ( \mu_{1}\cdot\eta_{1} + \mu_{2}\cdot\eta_{2}) \cdot \xi ) - E( \mu_{1}\cdot\eta_{1} + \mu_{2}\cdot\eta_{2} )\cdot E\xi </tex>= Свойства ковариации ==

В силу линейности математического ожидания* Ковариация симметрична:: <tex>Cov(\eta,\xi) = Cov(\xi,\eta)</tex>.* Пусть <tex>\eta_1,\ldots, \eta_n</tex> случайные величины, а <tex>\xi_1 = \sum\limits_{i=1}^n a_i \eta_i,\; \xi_2 = \sum\limits_{j=1}^m b_j \eta_j</tex> их две произвольные линейные комбинации. Тогда: <tex>Cov(\xi_1,\xi_2) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_i b_j Cov(\eta_i,\eta_j)</tex>.* Ковариация случайной величины с собой равна её дисперсии:: <tex>Cov(\eta,\eta) = E(\eta^2) - (E(\eta))^2 = D[\eta]</tex>.* Если <tex>\eta,\xi</tex> независимые случайные величины, то: <tex>Cov(\eta,\xi) = 0</tex>.Обратное, вообще говоря, неверно.

2. Симметричность:<tex> Cov(\eta, \xi) = E(\eta\cdot\xi) - E\eta \cdot E\xi = Cov(\xi, \eta)</tex>Неравенство Коши — Буняковского ==

3. Положительная определенность:{{Теорема| about = неравенство Коши — Буняковского| statement = Если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию <tex> Cov(\langle \eta, \eta) xi \rangle = DCov (\eta, \xi) = E(</tex>, то квадрат нормы случайной величины будет равен дисперсии <tex> ||\eta - E||^2 = D [ \eta)^2 ], </tex> и <texb> Cov Неравенство Коши-Буняковского</texb> удовлетвотряет трем аксиомам, значит запишется в виде:: <tex> Cov ^2(\eta,\xi) \leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi]</tex> можно использовать в качестве скалярного произведения. Докажем неравенстов Коши-Буняковского:

|proof= Для этого предположим, что <tex> t </tex> {{---}} некоторое вещественное число, и рассмотрим очевидное неравенство