Изменения

<b>Ковариация случайных величин</b>: пусть Пусть <tex>\eta,\xi</tex> — {{---}} две [[Дискретная случайная величина|случайные величины]], определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом<b>ковариацией случайных величин</b> (англ. ''covariance'') <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> называется выражение следующего вида:: <tex>\mathrm{Cov}(\eta,\xi)=E\big((\eta-E\eta)\cdot(\xi-E\xi)\big)</tex>.

:<tex>\mathrm{Cov}(\eta, \xi) = E\big((\xi - E\xi)\cdot(\eta - E\eta)\big) = E(\xi\cdot \eta - \eta \cdot E\xi + E\xi \cdot E\eta - \xi \cdot E\eta) = </tex>:<tex>= E(\xi\cdot \eta) - E\xi \cdot E\eta - E\xi \cdot E\eta + E\xi \cdot E\eta = E(\xi\cdot \eta) - E\xi \cdot E\eta </tex>

Итого, <tex>\mathrm{Cov}(\eta, \xi) = E(\xi\cdot \eta) - E\xi \cdot E\eta </tex>

: <tex>\mathrm{Cov}(\eta,\xi) = \mathrm{Cov}(\xi,\eta)</tex>.* Пусть <tex>\eta_1,\ldots, \eta_n</tex> случайные величины, а <tex>\xi_1 = \sum\limits_{i=1}^n a_i \cdot \eta_i,\; \xi_2 = \sum\limits_{j=1}^m b_j \cdot \eta_j</tex> их две произвольные линейные комбинации. Тогда: <tex>\mathrm{Cov}(\xi_1,\xi_2) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_i \cdot b_j \cdot \mathrm{Cov}(\eta_i,\eta_j)</tex>.

: <tex>\mathrm{Cov}(\eta,\eta) = E(\eta^2) - (E(\eta))^2 = D[(\eta])</tex>.* {{Утверждение|statement=Если <tex>\eta,\xi</tex> [[Независимые случайные величины|независимые случайные величины]], то: <tex>\mathrm{Cov}(\eta,\xi) = 0</tex>.|proof=:<tex>\mathrm{Cov}(\xi, \eta) = E(\xi \cdot \eta) - E\xi \cdot E\eta </tex>, а так как <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{---}} независимые, то [[Математическое ожидание случайной величины#.D0.A1.D0.B2.D0.BE.D0.B9.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B0_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.BE.D0.B6.D0.B8.D0.B4.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F|математическое ожидание их произведения]], равно произведению их математических ожиданий::<tex>E(\xi \cdot \eta) = E\xi \cdot E\eta </tex>, а значит:<tex> \mathrm{Cov}(\xi, \eta) = 0 </tex>}}{{Утверждение|statement=Если <tex>\mathrm{Cov}(\eta,\xi) = 0</tex>, то <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> не обязательно являются [[Независимые случайные величины#Определения | независимыми]]}} == Неравенство Коши {{---}} Буняковского ==  {{Утверждение| statement = Ковариация есть [[Функциональный анализ#12..09.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.BA.D0.B0.D0.BB.D1.8F.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.BF.D1.80.D0.BE.D0.B8.D0.B7.D0.B2.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F.2C_.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B5.D0.BD.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE_.D0.BF.D0.B0.D1.80.D0.B0.D0.BB.D0.BB.D0.B5.D0.BB.D0.BE.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BC.D0.BC.D0.B0.2C_.D0.BD.D0.B5.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B5.D0.BD.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE_.D0.A8.D0.B2.D0.B0.D1.80.D1.86.D0.B0.|скалярное произведение]] двух случайных величин |proof=Докажем три аксиомы скалярного произведения: :1. Линейность по первому аргументу: <tex> \mathrm{Cov}( \mu_{1}\cdot\eta_{1} + \mu_{2}\cdot\eta_{2}, \xi) = \mathrm{Cov}( \mu_{1}\cdot\eta, \xi) + \mathrm{Cov}( \mu_{2}\cdot\eta, \xi)</tex> ::Раскроем ковариацию по определению: ::<tex>\mathrm{Cov}( \mu_{1}\cdot\eta_{1} + \mu_{2}\cdot\eta_{2}, \xi) = E( ( \mu_{1}\cdot\eta_{1} + \mu_{2}\cdot\eta_{2}) \cdot \xi ) - E( \mu_{1}\cdot\eta_{2} + \mu_{2}\cdot\eta_{2} )\cdot E\xi </tex> ::В силу [[Математическое ожидание случайной величины#Линейность математического ожидания | линейности математического ожидания]]: ::<tex> E(\mu_{1}\cdot\eta_{1}\cdot\xi) + E(\mu_{2}\cdot\eta_{2}\cdot\xi) - E(\mu_{1}\cdot\eta_{1})\cdot E\xi - Обратное E(\mu_{2}\cdot\eta_{2})\cdot E\xi = \mu_{1}( E(\eta_{1}\cdot\xi) - E\eta_{1}\cdot E\xi ) + \mu_{2}( E(\eta_{2}\cdot\xi) - E\eta_{2}\cdot E\xi ) = \mu_{1} \cdot \mathrm{Cov}(\eta_{1}, вообще говоря\xi) + \mu_{2} \cdot \mathrm{Cov}(\eta_{2}, неверно\xi)</tex>  :2.Симметричность: <tex> \mathrm{Cov}(\eta, \xi) = E(\eta\cdot\xi) - E\eta \cdot E\xi = \mathrm{Cov}(\xi, \eta)</tex>

:3. Положительная определенность: <tex> \mathrm{Cov}(\eta, \eta) =D(\eta) = Неравенство Коши — Буняковского ==E(\eta - E\eta)^2 </tex>  <tex> \mathrm{Cov} </tex> удовлетвотряет трем аксиомам, а значит <tex> \mathrm{Cov} </tex> можно использовать в качестве скалярного произведения.}} 

неравенство Коши — {{---}} Буняковского

Если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию <tex>\langle \eta, \xi \rangle = \mathrm{Cov } (\eta, \xi)</tex>, то квадрат нормы случайной величины будет равен дисперсии <tex> ||\eta||^2 = D [ \eta ], </tex> и <b>Неравенство неравенство Коши-Буняковского</b> запишется в виде:: <tex>\mathrm{Cov}^2(\eta,\xi) \leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi]</tex>. |proof= Для этого предположим, что <tex> t </tex> {{---}} некоторое вещественное число, и рассмотрим очевидное неравенство

| proof <tex> E((V+t \cdot W)^2) \geqslant 0 </tex>, где <tex> V = \eta - E\eta </tex> и <tex> W = \xi - E\xi </tex>.

Запишем Используя линейность математического ожидания, мы получаем такое неравенство в другом виде:: <tex>|Cov(\eta, \xi)|\leqslant\sqrt{D[\eta]D[\xi]}</tex>.

Введём в рассмотрение случайную величину <tex>Z_{1}= E(V^2)+2 \sigma_{Y} X- cdot t \sigma_{X} Y</tex> cdot E(где <tex> V \sigma</tex> — среднеквадратическое отклонениеcdot W) и найдём её дисперсию <tex> D+t^2 \cdot E(Z_{1})= M[ Z-m_{Z1}]W^2) \geqslant 0 </tex>. Выполнив выкладки получим:

Обратим внимание, что левая часть является квадратным трехчленом, зависимым от <tex> D(Z_{1})=2 \sigma^2_{X} \sigma^2_{Y}-2 \sigma_{X} \sigma_{Y}Cov(\eta, \xi). t </tex>.

<tex>E(V^2 )=\sigmasigma_\eta ^2</tex>, <tex> E(W^2_{X} 2)=\sigma_\sigmaxi ^2_{Y}-2 </tex> и <tex> E(V \sigma_{X} cdot W)=\sigma_mathrm{YCov}Cov(\eta, \xi) \geqslant 0; </tex>

<tex>\sigma_\xi ^2 \cdot t^2+2 \cdot \mathrm{Cov}(\eta, \xi)\leqslantcdot t+\mathrm{sigma_\sigma}_{X}\mathrm{eta ^2 \sigma}_{Y}.geqslant 0</tex>

Введя случайную величину Для того, чтобы неравенство выполнялось для всех значений <tex> Z_{2}= \sigma_{Y} X+ \sigma_{X} Yt</tex>, аналогичнодискриминант должен быть неположительным, то есть:

<tex>4 \cdot \mathrm{Cov}^2(\eta, \xi)-4 \geqslant - cdot \sigma_\eta ^2 \mathrm{cdot \sigma}_{X}sigma_\mathrm{xi ^2 \sigma}_{Y}.leqslant 0</tex>

<tex>- \mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{YCov}\leqslant Cov^2(\eta, \xi)\leqslant\mathrm{D}[\sigma}_{X}eta] \cdot \mathrm{D}[\sigma}_{Y}.xi]</tex> }}

|Cov\Sigma= \begin{bmatrix} \mathrm{E}((\xi_1 - E\xi_1) \cdot (\xi_1 - E\xi_1)) & \mathrm{E}((\xi_1 - E\xi_1) \cdot (\eta, xi_2 - E\xixi_2)|) & \leqslantcdots & \mathrm{E}((\xi_1 - E\xi_1) \cdot (\xi_n - E\xi_n)) \\ \\ \mathrm{E}((\xi_2 - E\xi_2) \cdot (\xi_1 - E\xi_1)) & \mathrm{E}((\xi_2 - E\xi_2) \cdot (\sigmaxi_2 - E\xi_2)) & \cdots & \mathrm{E}_((\xi_2 - E\xi_2) \cdot(\xi_n - E\xi_n)) \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \mathrm{XE}((\xi_n - E\xi_n) \cdot (\xi_1 - E\xi_1)) & \mathrm{E}((\sigmaxi_n - E\xi_n) \cdot (\xi_2 - E\xi_2)) & \cdots & \mathrm{E}_((\xi_n - E\xi_n) \cdot (\xi_n - E\xi_n))\end{Ybmatrix}.

*Если <tex>\xi = \eta</tex>, то <tex>\Sigma</tex> называется матрицей ковариации вектора <tex>\xi</tex> и обозначается как <tex>\mathrm{Var}(\xi)</tex> {{---}} вариация (дисперсия) случайного вектора.|<b> Свойства </b>*Матрица ковариации случайного вектора неотрицательно определена: <tex>\mathrm{Cov}(\xi) \geqslant 0 </tex>*Перестановка аргументов: <tex> \mathrm{Cov}(\xi, \eta) = \mathrm{Cov}(\eta, \xi)|^{\leqslanttop} </tex>*Матрица ковариации аддитивна по каждому аргументу:: <tex>\sqrtmathrm{D[Cov}(\xi_1 + \xi_2, \eta]D[) = \mathrm{Cov}(\xi_1, \eta) + \mathrm{Cov}(\xi_2, \eta) </tex>: <tex>\mathrm{Cov}(\xi], \eta_1 + \eta_2) = \mathrm{Cov}.(\xi, \eta_1) + \mathrm{Cov}(\xi, \eta_2) </tex>* Если <tex>\mathrm{Cov}(\xi, \eta) = 0</tex>, то <tex> \mathrm{Cov}(\xi + \eta) = \mathrm{Cov}(\xi) + \mathrm{Cov}(\eta) </tex>

А значит== Расстояние Махаланобиса == <b>Расстояние Махаланобиса</b> (англ. ''Mahalanobis distance'') {{---}} мера расстояния между векторами случайных величин, верно и исходное неравенство:обобщающая понятие евклидова расстояния.{{Определение|definition=Пусть <tex>\xi = (\xi_1, \xi_2, \xi_3, \ldots, \xi_n)^{\top}</tex> {{---}} многомерный вектор, <tex>\Sigma</tex> {{---}} матрица ковариации, тогда <b>расстояние Махаланобиса</b> от <tex>\xi</tex> до множества со средним значением <tex>\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3, \ldots, \mu_n)^{\top}</tex> определяется как <tex> D_M (\xi) = \sqrt{(\xi - \mu) \cdot \Sigma (\xi - \mu)^{\top}}</tex>

*[http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node48.html http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node48.html]*[httpКатегория://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F ВикипедияТеория вероятности ]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F#.D0.9F.D0.B0.D1.80.D0.B0.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B5_.D0.BF.D0.BE.D0.BA.D0.B0.D0.B7.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BB.D0.B8_.D0.BA.D0.BE.D1.80.D1.80.D0.B5.D0.BB.D1.8F.D1.86.D0.B8.D0.B8 Википедия (доказательство неравенства Коши — Буняковского)]