Кодирование информации — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Однозначно декодируемый код)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 9 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=def1
 
|id=def1
|definition='''Кодирование информации''' — отображение данных на кодовые слова.
+
|definition='''Кодирование информации''' (англ. ''information coding'') — отображение данных на кодовые слова.
 
}}
 
}}
 
Обычно в процессе кодирования информация преобразуется из формы, удобной для непосредственного использования, в форму, удобную для передачи, хранения или автоматической обработки.
 
Обычно в процессе кодирования информация преобразуется из формы, удобной для непосредственного использования, в форму, удобную для передачи, хранения или автоматической обработки.
Строка 66: Строка 66:
  
 
=== Пример кодирования ===
 
=== Пример кодирования ===
<tex>U = \mathcal {f} a, b, c \mathcal {g}</tex>; <tex>Z = \mathcal {f} 0, 1 \mathcal {g}</tex>
+
 
<tex>c(a) = 00; c(b) = 01; c(c) = 1;</tex>
+
<tex>U = \{ a, b, c \}</tex>
Закодируем строку: <tex>abacaba</tex>
+
 
<tex>c^*(abacaba) = 0001001000100</tex>
+
<tex> Z = \{ 0, 1 \}</tex>
 +
 
 +
<tex> c(a) = 00 </tex>
 +
 
 +
<tex> c(b) = 01 </tex>
 +
 
 +
<tex> c(c) = 1 </tex>
 +
 
 +
Закодируем строку <tex>abacaba</tex> :
 +
 
 +
<tex>c^*(abacaba) = 0001001000100</tex>
 +
 
 
Такой код можно однозначно разбить на слова:
 
Такой код можно однозначно разбить на слова:
<tex>00\ 01\ 00\ 1\ 00\ 01\ 00</tex>
+
 
 +
<tex>00\ 01\ 00\ 1\ 00\ 01\ 00</tex>
  
 
=== Преимущества префиксных кодов ===
 
=== Преимущества префиксных кодов ===
Строка 83: Строка 95:
 
=== Пример неудачного декодирования ===
 
=== Пример неудачного декодирования ===
 
Предположим, что последовательность <tex>abacaba</tex> из примера передалась неверно и стала:
 
Предположим, что последовательность <tex>abacaba</tex> из примера передалась неверно и стала:
<tex>c^{**}(abacaba) = 0001001\ 1\ 00100</tex>
+
 
 +
<tex>c^{**}(abacaba) = 0001001\ 1\ 00100</tex>
 +
 
 
Разобьем ее согласно словарю:
 
Разобьем ее согласно словарю:
<tex> 00\ 01\ 00\ 1\ 1\ 00\ 1\ 00</tex>
+
 
<tex>a\quad b\quad a\ c\ c\quad a\ c\ a</tex>
+
<tex> 00\ 01\ 00\ 1\ 1\ 00\ 1\ 00</tex>
 +
 
 +
<tex>a\quad b\quad a\ c\ c\quad a\ c\ a</tex>
 +
 
 
Полученная строка совпадает только в битах, которые находились до ошибочного, поэтому декодирование неравномерного кода, содержащего ошибки, может дать абсолютно неверные результаты.
 
Полученная строка совпадает только в битах, которые находились до ошибочного, поэтому декодирование неравномерного кода, содержащего ошибки, может дать абсолютно неверные результаты.
  
 
=== Не префиксный однозначно декодируемый код ===
 
=== Не префиксный однозначно декодируемый код ===
 
Как уже было сказано, префиксный код всегда однозначно декодируем. Обратное в общем случае неверно:
 
Как уже было сказано, префиксный код всегда однозначно декодируем. Обратное в общем случае неверно:
<tex>U = \mathcal {f} a, b, c \mathcal {g}</tex>; <tex>Z = \mathcal {f} 1, 2, 3 \mathcal {g}</tex>;
+
 
<tex>c(a) = 1; c(b) = 12; c(c) = 31;</tex>
+
<tex>U = \{ a, b, c \}</tex>
Закодируем <tex>abbca</tex>, получим кодовую строку <tex>11212311</tex>
+
 
 +
<tex>Z = \{ 1, 2, 3 \}</tex>
 +
 
 +
<tex> c(a) = 1 </tex>
 +
 
 +
<tex> c(b) = 12 </tex>
 +
 
 +
<tex> c(c) = 31 </tex>
 +
 
 +
Закодируем <tex>abbca</tex>, получим кодовую строку: <tex>11212311</tex>
 +
 
 
Мы можем ее однозначно декодировать, так как знаем, что слева от двойки и справа от тройки всегда стоит единица.
 
Мы можем ее однозначно декодировать, так как знаем, что слева от двойки и справа от тройки всегда стоит единица.
  
После декодирования получаем:
+
После декодирования получаем: <tex>abbca</tex>
<tex>abbca</tex>
 
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
Строка 105: Строка 131:
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Prefix_code  Wikipedia {{---}} Prefix_code]
+
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Prefix_code  Wikipedia {{---}} Prefix code]
 
* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. «Алгоритмы. Построение и анализ» {{---}} «Вильямс», 2011 г. {{---}} 1296 стр. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5, 5-8459-0857-4, 0-07-013151-1
 
* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. «Алгоритмы. Построение и анализ» {{---}} «Вильямс», 2011 г. {{---}} 1296 стр. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5, 5-8459-0857-4, 0-07-013151-1
 
* Джеймс Андерсон. «Дискретная математика и комбинаторика» {{---}} «Вильямс», 2004 г. {{---}} 960 стр. {{---}} ISBN 978-0-13-086998-2
 
* Джеймс Андерсон. «Дискретная математика и комбинаторика» {{---}} «Вильямс», 2004 г. {{---}} 960 стр. {{---}} ISBN 978-0-13-086998-2

Текущая версия на 19:14, 4 сентября 2022

Определение:
Кодирование информации (англ. information coding) — отображение данных на кодовые слова.

Обычно в процессе кодирования информация преобразуется из формы, удобной для непосредственного использования, в форму, удобную для передачи, хранения или автоматической обработки. В более узком смысле кодированием информации называют представление информации в виде кода. Средством кодирования служит таблица соответствия знаковых систем, которая устанавливает взаимно однозначное соответствие между знаками или группами знаков двух различных знаковых систем.

Код

Определение:
Пусть [math]U[/math] — множество исходных символов, [math]Z[/math] — кодовый алфавит, [math]Z^*[/math] — множество всех строк конечной длины из [math]Z[/math].
Код (англ. code) — отображение [math]c : U \rightarrow Z^*[/math] и [math]c^* : U^* \rightarrow Z^*[/math] так, что [math]c^*(x_1 x_2 ... x_n) = c(x_1)c(x_2)..c(x_n)[/math]

Виды кодов

  • Код фиксированной длины (англ. fixed-length code) — кодирование каждого символа производится с помощью строк одинаковой длины. Также он называется равномерным или блоковым кодом.
  • Код переменной длины (англ. variable-length code) — кодирование производится с помощью строк переменной длины. Также называется неравномерным кодом.
    • Префиксный код — код, в котором, никакое кодовое слово не является началом другого. Аналогично, можно определить постфиксный код — это код, в котором никакое кодовое слово не является концом другого.

Все вышеперечисленные коды являются однозначно декодируемыми — для такого кода любое слово, составленное из кодовых слов, можно декодировать только единственным способом.

Примеры кодов

  • ASCII — блочный.
  • Код Хаффмана (англ. Huffman code) — префиксный.
  • Азбука Морзе — не является ни блочным, ни префиксным, тем не менее, однозначно декодируемый засчет использования пауз.

Однозначно декодируемый код

Определение:
Однозначно декодируемый код (англ. uniquely decodable code) — код, в котором любое слово составленное из кодовых слов можно декодировать только единственным способом.

Пусть есть код заданный следующей кодовой таблицей:

[math]a_1 \rightarrow b_1[/math]

[math]a_2 \rightarrow b_2[/math]

[math] \dots [/math]

[math]a_k \rightarrow b_k[/math]

Код является однозначно декодируемым, только тогда, когда для любых строк, составленных из кодовых слов, вида:

[math]b_{i_1} b_{i_2} \dots b_{i_n} = b_{j_1} b_{j_2} \dots b_{j_m}[/math]

Всегда выполняются равенства:

[math]n = m [/math]

[math] b_{i_1} = b_{j_1}[/math]

[math] b_{i_2} = b_{j_2} [/math]

[math] \dots [/math]

[math] b_{i_n} = b_{j_m}[/math]

Заметим, что если среди кодовых слов будут одинаковые, то однозначно декодировать этот код мы уже не сможем.

Префиксный код

Определение:
Префиксный код (англ. prefix code) — код, в котором никакое кодовое слово не является префиксом какого-то другого кодового слова.


Предпочтение префиксным кодам отдается из-за того, что они упрощают декодирование. Поскольку никакое кодовое слово не выступает в роли префикса другого, кодовое слово, с которого начинается файл, определяется однозначно, как и все последующие кодовые слова.

Пример кодирования

[math]U = \{ a, b, c \}[/math]

[math] Z = \{ 0, 1 \}[/math]

[math] c(a) = 00 [/math]

[math] c(b) = 01 [/math]

[math] c(c) = 1 [/math]

Закодируем строку [math]abacaba[/math] :

[math]c^*(abacaba) = 0001001000100[/math]

Такой код можно однозначно разбить на слова:

[math]00\ 01\ 00\ 1\ 00\ 01\ 00[/math]

Преимущества префиксных кодов

  • Однозначно декодируемый и разделимый
  • Удается получить более короткие коды, чем с помощью кода фиксированной длины.
  • Возможности декодировки сообщения, не получая его целиком, а по мере его поступления.

Недостатки префиксных кодов

  • При появлении ошибок в кодовой комбинации, при определенных обстоятельствах, может привести к неправильному декодированию не только данной, но и последующей кодовой комбинации, в отличии от равномерных кодов, где ошибка в кодовой комбинации приводит к неправильному декодированию только ее.

Пример неудачного декодирования

Предположим, что последовательность [math]abacaba[/math] из примера передалась неверно и стала:

[math]c^{**}(abacaba) = 0001001\ 1\ 00100[/math]

Разобьем ее согласно словарю:

[math] 00\ 01\ 00\ 1\ 1\ 00\ 1\ 00[/math]

[math]a\quad b\quad a\ c\ c\quad a\ c\ a[/math]

Полученная строка совпадает только в битах, которые находились до ошибочного, поэтому декодирование неравномерного кода, содержащего ошибки, может дать абсолютно неверные результаты.

Не префиксный однозначно декодируемый код

Как уже было сказано, префиксный код всегда однозначно декодируем. Обратное в общем случае неверно:

[math]U = \{ a, b, c \}[/math]

[math]Z = \{ 1, 2, 3 \}[/math]

[math] c(a) = 1 [/math]

[math] c(b) = 12 [/math]

[math] c(c) = 31 [/math]

Закодируем [math]abbca[/math], получим кодовую строку: [math]11212311[/math]

Мы можем ее однозначно декодировать, так как знаем, что слева от двойки и справа от тройки всегда стоит единица.

После декодирования получаем: [math]abbca[/math]

См. также

Источники информации

  • Wikipedia — Prefix code
  • Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. «Алгоритмы. Построение и анализ» — «Вильямс», 2011 г. — 1296 стр. — ISBN 978-5-8459-0857-5, 5-8459-0857-4, 0-07-013151-1
  • Джеймс Андерсон. «Дискретная математика и комбинаторика» — «Вильямс», 2004 г. — 960 стр. — ISBN 978-0-13-086998-2
  • Новиков. Ф.А. «Дискретная математика для программистов» — «Питер», 2001 г. — 304 стр. — ISBN 5-94723-741-5 978-5-94723-741-2
  • Алексеев В.Б. «Дискретная математика (II семестр)»