Изменения
→Явная формула для получения зеркального двоичного кода Грея
{| border="0"
|align="left" colspan="4"|
*<tex>\mathtt{GrayCode}</tex> {{---}} двумерный массив типа '''boolean''', в котором <tex>\mathtt{GrayCode[a, b]}</tex> {{---}} <tex>b</tex>-ый бит в <tex>a</tex>-ом коде Грея.,*<tex>\mathtt{p}</tex> {{---}} Счетчик количества уже имеющихся кодов,*<tex>\mathtt{t}</tex> {{---}} Показывает количество кодов в <tex>(a-1)</tex>-м коде Грея.
<code>
buildCode(n):
GrayCode[1, n] = '''false''' GrayCode[2, n] = '''true''' <font color=green> // Построение кода длины 1 </font> p = 2
'''for''' i = 2 '''to''' n
t = p
'''for''' k = (p / 2 + 1) '''to''' p
GrayCode[k] = GrayCode[t] <font color=green> // Отражение имеющихся кодов </font>
GrayCode[t, n + 1 - i] = '''false''' GrayCode[k, n + 1 - i] = '''true''' <font color=green> // Добавление 0 и 1 в начало </font>
t--
</code>
|}
Этот алгоритм можно обобщить и для <tex>k</tex>-ичных векторов. Также известен алгоритм преобразования двоичного кода в код Грея.
Существует ещё несколько видов кода Грея {{---}} сбалансированный код Грея, код Баркера-Грея, одноколейный код Грея.<ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code#Special_types_of_Gray_codes Типы кодов ГреяWikipedia {{---}} Special types of Gray codes]</ref> Кроме того, коды Грея используются для [[:Коды_Грея_для_перестановок|упорядочения перестановок.]]
== Явная формула для получения зеркального двоичного кода Грея ==
Для кода длиной <tex>1</tex> бит утверждение проверяется непосредственно.
Пусть существует зеркальный двоичный код Грея <tex>M</tex> длины <tex>n</tex>, для которого выполнено, что для любого <tex>i</tex> выполняется <tex>е\enskip enspace M_i = i \oplus (\lfloor i / 2 \rfloor)</tex>
Обозначим за <tex>L</tex> код длины <tex>n + 1</tex>, полученный из <tex>M</tex> описанным выше алгоритмом. Тогда:
Для любого <tex>x < 2^n</tex> выполняется <tex>\enskip enspace L_x = 0M_x</tex> и, по условию, равно
<tex>L_x = 0(x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 0x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{1})</tex> раскрыв скобки, получим новое выражение <tex>L_x</tex>:
<tex>= 0x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 00x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{1}</tex> что равно (второе слагаемое равно первому, побитово сдвинутого вправо.)
<tex>= x \oplus (\lfloor x / 2 \rfloor)</tex>
Для любого <tex>x \geq geqslant 2^n</tex> выполняется <tex>\enskip enspace L_x = 1</tex><tex>M_y</tex>, где <tex>y = 2^{n+1} - 1 - x = \neg x</tex>, то есть
<tex>L_x = 1(\overline {x_{n-1} x_{n-2} \dots x_{0}} \oplus 0 \overline {x_{n-1} x_{n-2} \dots x_{1}})</tex> что по свойству '''xor''' (<tex>\neg x \oplus \neg y = x \oplus y</tex>) равно
<tex>= 1(\overline {x_{n-1}}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 0x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{1})</tex> или (все по тому же свойству)
<tex>= 1(x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 1x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{1})</tex> раскрыв скобки, получим
<tex>= 1x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 01x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{1}</tex> откуда получаем, зная из условия, что старший разряд <tex>L_x</tex> равен <tex>1</tex>
<tex>= x_{n}x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 0x_{n}x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{1}</tex> что, аналогично первому пункту, равно
<tex>= x \oplus (\lfloor x / 2 \rfloor)</tex>
Таким образом, шаг индукции доказан, следовательно, теорема верна.
}}
[[Файл:single_track.png|50px|thumb|right|Пример однодорожечного кода грея.]]
=== Сбалансированный код Грея ===
Несмотря на то, что зеркальный двоичный код Грея полезен во многих случаях, он не является оптимальным в некоторых ситуациях из-за отсутствия "однородности". В сбалансированном коде Грея, количество изменений в различных координатных позициях сделаны максимально приближенными настолько, насколько это возможно.
Чтобы показать это точнее, пусть <tex>G</tex> {{---}} это <tex>R</tex>-ичный полный цикл Грея, имеющий последовательность перехода <tex>(\delta_k)</tex>, <tex>\delta_k = i</tex>, для <tex>k = 0 \dots n</tex> если в коде Грея <tex>i</tex>-й и <tex>(i+1)</tex> биты различны и <tex>n</tex> {{---}} кол-во таких различий; отсчёты переходов (спектры) <tex>G</tex> являются наборами целых чисел, определенных как <tex>\lambda_k = |\{ j \in \mathbb{Z}_{R^n} : \delta_j = k \}| \,</tex> для <tex> k \in \mathbb{Z}_R</tex>.
Код Грея является однородным или равномерно сбалансированным, если все его отсчёты переходов равны, и в этом случае у нас есть <tex>\lambda_k = R^n / n</tex> для всех <tex>k</tex>. Ясно, что при <tex>R = 2</tex>, такие коды существуют только при <tex>n = 2</tex>. В противном случае, если <tex>R^n</tex> не делится на <tex>n</tex> равномерно, то можно построить сбалансированные коды Грея, где каждый отсчёт перехода либо <tex>\lfloor R^n / n \rfloor </tex> либо <tex> \lceil R^n / n \rceil</tex>.
Чтобы снизить уровнень шума различных контактов не переключаясь в тот же момент времени, один датчик предпочтительно устанавливает дорожки так, что выход данных от контактов находится в коде Грея. Чтобы получить высокую угловую точность, нужно много контактов; для достижения точности хотя бы в <tex>1</tex> градус нужно, по крайней мере, <tex>360</tex> различных позиций на оборот, который требует минимум <tex>9</tex> бит данных, и тем самым такое же количество контактов.
'''Не путать''' с [[:Цепные_коды|цепными кодами]], получаемых циклическим сдвигом.
== Применение ==
Фрэнк Грей изобрел метод для преобразования аналоговых сигналов в отраженные двоичные кодовые группы с использованием аппарата на основе вакуумной трубки. Способ и устройство были запатентованы в 1953 году, а код получил название код Грея. "PCM трубка" {{---}} аппарат, запатентованный Греем, был сделан Раймондом У. Сирсом из (англ.) Bell Labs, работая с Греем и Уильямом М. Гудоллом.
* В технике коды Грея используются для минимизации ошибок при преобразовании аналоговых сигналов в цифровые (например, в датчиках-энкодерах <ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BD%D0%BA%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D1%80 датчикахВикипедия {{---энкодерах}} Датчик угла поворота]</ref>).
В частности, коды Грея и были открыты в связи с этим применением. (Код Грея — это код преобразования бинарных символов в <tex>M</tex>-арные, такие, что двоичные последовательности, соответствующие соседним символам (сдвигам фаз), отличаются только одним битом. Обычная бинарная кодировка сравнивается с кодировкой Грея. При появлении ошибки в <tex>M</tex>-арном символе наиболее вероятными являются ближайшие соседние символы, отличающиеся от переданного лишь одним битом, если используется кодировка Грея.
* Коды Грея используются для кодирования номера дорожек в жёстких дисках.
* Коды Грея широко применяются в теории генетических алгоритмов <ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC генетических алгоритмовВикипедия {{---}} Генетический алгоритм] </ref> для кодирования генетических признаков, представленных целыми числами.
* Коды Грея используются в Картах Карно<ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D1%8B_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE Картах Википедия {{---}} Карта Карно] </ref> (при передаче в карту переменные сортируются в код Грея).
* Алгоритм модуляции 2B1Q (англ. ''2 Binary 1 Quandary'') <ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/2B1Q Описание Wikipedia {{---}} 2B1Q кода в английской Википедии]</ref>
* Код Грея можно использовать также и для решения следующей задачи<ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B1%D0%B0%D1%88%D0%BD%D0%B8 следующей задачиВикипедия {{---}} Ханойская Башня]</ref>:
=== Задача о Ханойских башнях ===
Пусть <tex>n</tex> — количество дисков. Начнём с кода Грея длины <tex>n</tex>, состоящего из одних нулей (т.е. <tex>G(0)</tex>), и будем двигаться по кодам Грея (от <tex>G(i)</tex> переходить к <tex>G(i+1)</tex>).
Поставим в соответствие каждому <tex>i</tex>-ому биту текущего кода Грея <tex>i</tex>-ый диск (причём самому младшему биту соответствует наименьший по размеру диск, а самому старшему биту — наибольший). Поскольку на каждом шаге изменяется ровно один бит, то мы можем понимать изменение бита <tex>i</tex> как перемещение <tex>i</tex>-го диска. То есть, будем понимать переход от последовательности <tex>101</tex> к <tex>100</tex> как перемещение <tex>0</tex>-го диска на свободное место, а от <tex>010</tex> к <tex>110</tex> {{---}} как перемещение <tex>2</tex>-го диска на свободное место. Заметим, что для всех дисков, кроме наименьшего, на каждом шаге имеется ровно один вариант хода (за исключением стартовой и финальной позиций). Для самого маленького диска всегда есть две свободные позиции, потому что он самый маленький, его можно положить сверху на любой диск. Если диск не самый маленький, то для него может быть не более одной свободной позиции. Допустим, что для него свободные две позиции. Это означает, что на двух других стержнях расположены диски размером больше, чем рассматриваемый. А так как рассматриваемый диск не самый маленький, то где-то расположен наименьший. Либо он расположен на рассматриваемом диске, тогда мы не можем переместить рассматриваемый, либо на каком-то другом, но тогда у нашего диска остаётся не более одной свободной позиции. Для наименьшего диска всегда имеется два варианта хода, однако имеется стратегия выбора хода, всегда приводящая к ответу: если <tex>n</tex> нечётно, то последовательность перемещений наименьшего диска имеет вид <tex>r_{1} \rightarrow r_{3} \rightarrow r_{2} \rightarrow r_{1} \rightarrow r_{3} \rightarrow r_{2} \rightarrow \ldots .</tex>(где <tex>r_{1}</tex> — стартовый стержень, <tex>r_{3}</tex> — финальный стержень, <tex>r_{2}</tex> — оставшийся стержень), а если <tex>n</tex> чётно, то <tex>r_{1} \rightarrow r_{2} \rightarrow r_{3} \rightarrow r_{1} \rightarrow r_{2} \rightarrow r_{3} \rightarrow \ldots.</tex> Выбор обусловлен тем, на каком стержне окажется в конце пирамидка, решение с помощью кода Грея является следствием классического нерекурсивного решения<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Tower_of_Hanoi#Non-recursive_solution Wikipedia {{---}} Tower of Hanoi Non-recursive solution]</ref>. ==См. Также==
==Примечания==
== Источники информации ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code Wikipedia {{---}} Gray code, From Wikipedia, the free encyclopedia]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/код_Грея Википедия {{---}} Код Грея, Материал из Википедии — свободной энциклопедии]
* [http://www.jucs.org/jucs_13_11/the_gray_code/jucs_13_11_1573_1597_doran.pdf Robert W. Doran The Gray Code, Journal of Universal Computer Science, vol. 13, no. 11 (2007).]
