1632
правки
Изменения
м
'''=== Доказательство правильности работы алгоритма''' ===
Этот алгоритм можно обобщить и для k<tex>L_x = 1(\overline {x_{n-ичных векторов. Также известен алгоритм преобразования двоичного кода в Код Грея. 1} x_{n-2} \dots x_{0}} \oplus 0 \overline {x_{n-1} x_{n-2} \dots x_{1}})</tex> что по свойству '''xor''' (<tex>\neg x \oplus \neg y = x \oplus y</tex>) равно
Существует ещё несколько видов Кода Грея <tex>= 1(\overline {x_{n-1}}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 0x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{1} сбалансированный Код Грея, код Беккета-Грея, одноколейный Код Грея.)</tex> или (все по тому же свойству)
* датчикахПоставим в соответствие каждому <tex>i</tex>-энкодерах ому биту текущего кода Грея <tex>i</tex>-ый диск ( устройствапричём самому младшему биту соответствует наименьший по размеру диск, преобразующие угол поворота вала в электрический сигнал а самому старшему биту — наибольший);. Поскольку на каждом шаге изменяется ровно один бит, то мы можем понимать изменение бита <tex>i</tex> как перемещение <tex>i</tex>-го диска. То есть, будем понимать переход от последовательности <tex>101</tex> к <tex>100</tex> как перемещение <tex>0</tex>-го диска на свободное место, а от <tex>010</tex> к <tex>110</tex> {{---}} как перемещение <tex>2</tex>-го диска на свободное место.
* Заметим, что для всех дисков, кроме наименьшего, на каждом шаге имеется ровно один вариант хода (за исключением стартовой и финальной позиций). Для самого маленького диска всегда есть две свободные позиции, потому что он самый маленький, его можно положить сверху на любой диск. Если диск не самый маленький, то для него может быть не более одной свободной позиции. Допустим, что для него свободные две позиции. Это означает, что на двух других стержнях расположены диски размером больше, чем рассматриваемый. А так как способ решения задачи о Ханойских башнях ( дано три стержнярассматриваемый диск не самый маленький, то где-то расположен наименьший. Либо он расположен на рассматриваемом диске, тогда мы не можем переместить рассматриваемый, либо на первом из них нанизано 8 колец разного размера в виде пирамиды; цель каком- перенести то другом, но тогда у нашего диска остаётся не более одной свободной позиции. Для наименьшего диска всегда имеется два варианта хода, однако имеется стратегия выбора хода, всегда приводящая к ответу: если <tex>n</tex> нечётно, то последовательность перемещений наименьшего диска имеет вид <tex>r_{1} \rightarrow r_{3} \rightarrow r_{2} \rightarrow r_{1} \rightarrow r_{3} \rightarrow r_{2} \rightarrow \ldots .</tex>(где <tex>r_{1}</tex> — стартовый стержень, <tex>r_{3}</tex> — финальный стержень, <tex>r_{2}</tex> — оставшийся стержень), а если <tex>n</tex> чётно, то <tex>r_{1} \rightarrow r_{2} \rightarrow r_{3} \rightarrow r_{1} \rightarrow r_{2} \rightarrow r_{3} \rightarrow \ldots.</tex>
пирамиду Выбор обусловлен тем, на другой стерженькаком стержне окажется в конце пирамидка, сохранив упорядоченность );решение с помощью кода Грея является следствием классического нерекурсивного решения<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Tower_of_Hanoi#Non-recursive_solution Wikipedia {{---}} Tower of Hanoi Non-recursive solution]</ref>.
* в генетических алгоритмах;==См. Также==
* в кодах, исправляющих ошибки;==Примечания==
* для связи систем с различной частотой работы.<references />
== Источники ==* [http://ru.wikipedia.org/wiki/код_Грея Википедия {{---}} Код Грея]
* [http[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория://ru.wikipedia.org/wiki/Код_Грея Код Грея, Материал из Википедии — свободной энциклопедииКомбинаторика]]
rollbackEdits.php mass rollback
{| width="150" align="right" cellpadding="5" border="1" style="border-collapse: collapse;"|-| <span style="font-size:smaller;">2-битный код Грея</span> 00 01 11 10|-{Определение| <span styledefinition ="font-size:smaller;">3-битный код Грея</span> 000 001 011 010 110 111 101 100|-| <span style="font-size:smaller;">4-битный код Грея</span> 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000|}'''Код Грея'''(англ. ''Gray code'') {{-- -}} такое упорядочение <tex>k</tex>-ичных (обычно двоичных) векторов, что соседние вектора отличаются только в одном разряде. Код назван в честь Фрэнка Грея, который в 1947 году получил патент на "отраженный двоичный код". Изначально он предназначался для избавления от паразитных состояний в электромеханических переключателях, однако сейчас область его применения гораздо шире. }}
Код назван в честь Фрэнка Грея, который в 1947-ом году получил патент на "отражённый двоичный код".
== Алгоритм построения ==
[[Файл:Gray_Code_Building.png|300px|thumb|right|Получение зеркального двоичного кода Грея.]] Существует несколько видов Кода кода Грея, самый простой из них {{--- }} так называемый зеркальный двоичный Код код Грея, строится . Строится он так: Для получения кода длины <tex>n </tex> производится <tex>n </tex> шагов. На первом шаге код имеет длину <tex>1 </tex> и состоит из двух векторов (<tex>0) </tex> и (<tex>1)</tex>. На каждом следующем шаге в конец списка заносятся все уже имеющиеся вектора в обратном порядке, и затем к первой половине получившихся векторов дописывается "<tex>0"</tex>, а ко второй - " <tex>1"</tex>. С каждым шагом длина векторов увеличивается на <tex>1</tex>, и а их количество {{---}} вдвое. Таким образом , количество векторов длины <tex>n </tex> равно <mathtex>2^n.</mathtex> === Псевдокод === {| border="0" |align="left" colspan="4"|*<tex>\mathtt{GrayCode}</tex>{{---}} двумерный массив типа '''boolean''', в котором <tex>\mathtt{GrayCode[a, b]}</tex> {{---}} <tex>b</tex>-ый бит в <tex>a</tex>-ом коде Грея,*<tex>\mathtt{p}</tex> {{---}} Счетчик количества уже имеющихся кодов,*<tex>\mathtt{t}</tex> {{---}} Показывает количество кодов в <tex>(a-1)</tex>-м коде Грея.<code> buildCode(n): GrayCode[1, n] = ''false'' GrayCode[2, n] = ''true'' <font color=green> // Построение кода длины 1 </font> p = 2 '''for''' i = 2 '''to''' n t = p p = p * 2 '''for''' k = (p / 2 + 1) '''to''' p GrayCode[k] = GrayCode[t] <font color=green> // Отражение имеющихся кодов </font> GrayCode[t, n + 1 - i] = ''false'' GrayCode[k, n + 1 - i] = ''true'' <font color=green> // Добавление 0 и 1 в начало </font> t-- '''return''' GrayCode </code>|}
По индукции:
* на первом шаге код отвечает условиям
* предположим, что код, получившийся код на <tex>i</tex>-ом шаге i есть Код , является кодом Грея* тогда на шаге <tex>i+1</tex>: первая половина кода будет корректна, так как она совпадает с кодом с шага <tex>i </tex> за исключением добавленного последнего бита <tex>0</tex>. Вторая половина тоже соответствует условиям, так как она является зеркальным отражением первой половины, только добавлен везде бит <tex>1</tex>. На стыке: первые <tex>i </tex> бит совпадают в силу зеркальности, последние различны по построению. Таким образом, этот код {{---}} Код код Грея. Индукционное предположение доказано, алгоритм работает верно. Этот алгоритм можно обобщить и для <tex>k</tex>-ичных векторов. Также известен алгоритм преобразования двоичного кода в код Грея. Существует ещё несколько видов кода Грея {{---}} сбалансированный код Грея, код Баркера-Грея, одноколейный код Грея.<ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code#Special_types_of_Gray_codes Wikipedia {{---}} Special types of Gray codes]</ref> Кроме того, коды Грея используются для [[:Коды_Грея_для_перестановок|упорядочения перестановок.]] == Явная формула для получения зеркального двоичного кода Грея == {{Теорема|id = th1. |statement =В двоичном зеркальном коде Грея <tex>i</tex>-ый код может быть получен по формуле <tex>G_i = i \oplus (\lfloor i / 2 \rfloor)</tex> при нумерации кодов с нуля.|proof =Для кода длиной <tex>1</tex> бит утверждение проверяется непосредственно. Пусть существует зеркальный двоичный код Грея <tex>M</tex> длины <tex>n</tex>, для которого выполнено, что для любого <tex>i</tex> выполняется <tex>\enspace M_i = i \oplus (\lfloor i / 2 \rfloor)</tex> Обозначим за <tex>L</tex> код длины <tex>n + 1</tex>, полученный из <tex>M</tex> описанным выше алгоритмом. Тогда: Для любого <tex>x < 2^n</tex> выполняется <tex>\enspace L_x = 0M_x</tex> и, по условию, равно <tex>L_x = 0(x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 0x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{1})</tex> раскрыв скобки, получим новое выражение <tex>L_x</tex>: <tex>= 0x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 00x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{1}</tex> что равно (второе слагаемое равно первому, побитово сдвинутого вправо.) <tex>= x \oplus (\lfloor x / 2 \rfloor)</tex>
Для любого <tex>x \geqslant 2^n</tex> выполняется <tex>\enspace L_x = 1</tex><tex>M_y</tex>, где <tex>y = 2^{n+1} - 1 - x = \neg x</tex>, то есть
<tex>= 1(x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 1x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{1})</tex> раскрыв скобки, получим
<tex>= 1x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 01x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{1}</tex> откуда получаем, зная из условия, что старший разряд <tex>L_x</tex> равен <tex>1</tex>
<tex>= x_{n}x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 0x_{n}x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{1}</tex> что, аналогично первому пункту, равно
<tex>= x \oplus (\lfloor x / 2 \rfloor)</tex>
Таким образом, шаг индукции доказан, следовательно, теорема верна.
}}
[[Файл:single_track.png|50px|thumb|right|Пример однодорожечного кода грея.]]
=== Сбалансированный код Грея ===
Несмотря на то, что зеркальный двоичный код Грея полезен во многих случаях, он не является оптимальным в некоторых ситуациях из-за отсутствия "однородности". В сбалансированном коде Грея, количество изменений в различных координатных позициях сделаны максимально приближенными настолько, насколько это возможно.
Чтобы показать это точнее, пусть <tex>G</tex> {{---}} это <tex>R</tex>-ичный полный цикл Грея, имеющий последовательность перехода <tex>(\delta_k)</tex>, <tex>\delta_k = i</tex>, для <tex>k = 0 \dots n</tex> если в коде Грея <tex>i</tex>-й и <tex>(i+1)</tex> биты различны и <tex>n</tex> {{---}} кол-во таких различий; отсчёты переходов (спектры) <tex>G</tex> являются наборами целых чисел, определенных как <tex>\lambda_k = |\{ j \in \mathbb{Z}_{R^n} : \delta_j = k \}| \,</tex> для <tex> k \in \mathbb{Z}_R</tex>.
Код Грея является однородным или равномерно сбалансированным, если все его отсчёты переходов равны, и в этом случае у нас есть <tex>\lambda_k = R^n / n</tex> для всех <tex>k</tex>. Ясно, что при <tex>R = 2</tex>, такие коды существуют только при <tex>n = 2</tex>. В противном случае, если <tex>R^n</tex> не делится на <tex>n</tex> равномерно, то можно построить сбалансированные коды Грея, где каждый отсчёт перехода либо <tex>\lfloor R^n / n \rfloor </tex> либо <tex> \lceil R^n / n \rceil</tex>.
Коды Грея также могут быть экспоненциально сбалансироваными, если все их отсчеты переходов являются смежными степеням двойки, и такие коды существуют для каждой степени двойки.
=== Однодорожечный код Грея ===
Еще один вид кода Грея {{---}} это однодорожечный код Грея, разработанный Спеддингом и уточнен Хильтгеном, Патерсоном и Брандестини.
Однодорожечный код Грея является циклическим списком уникальных двоичных кодировок длины <tex>n</tex> так, что два последовательных слова отличаются ровно в одной позиции, и когда список рассматривается как <tex>P_{xn}</tex> матрица, каждая колонка {{---}} это циклический сдвиг первого столбца. Название происходит от их использования датчиками вращения, где количество дорожек в настоящее время измеряется с помощью контактов, в результате для каждой дорожки на выход подаётся <tex>0</tex> или <tex>1</tex>.
Чтобы снизить уровнень шума различных контактов не переключаясь в тот же момент времени, один датчик предпочтительно устанавливает дорожки так, что выход данных от контактов находится в коде Грея. Чтобы получить высокую угловую точность, нужно много контактов; для достижения точности хотя бы в <tex>1</tex> градус нужно, по крайней мере, <tex>360</tex> различных позиций на оборот, который требует минимум <tex>9</tex> бит данных, и тем самым такое же количество контактов.
'''Не путать''' с [[:Цепные_коды|цепными кодами]], получаемых циклическим сдвигом.
== Применение ==
Фрэнк Грей изобрел метод для преобразования аналоговых сигналов в отраженные двоичные кодовые группы с использованием аппарата на основе вакуумной трубки. Способ и устройство были запатентованы в 1953 году, а код получил название код Грея. "PCM трубка" {{---}} аппарат, запатентованный Греем, был сделан Раймондом У. Сирсом из (англ.) Bell Labs, работая с Греем и Уильямом М. Гудоллом. * В технике коды Грея используются для минимизации ошибок при преобразовании аналоговых сигналов в цифровые (например, в датчиках-энкодерах <ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BD%D0%BA%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D1%80 Википедия {{---}} Датчик угла поворота]</ref>). В частности, коды Грея и были открыты в связи с этим применением. (Код Грея применяется — это код преобразования бинарных символов в<tex>M</tex>-арные, такие, что двоичные последовательности, соответствующие соседним символам (сдвигам фаз), отличаются только одним битом. Обычная бинарная кодировка сравнивается с кодировкой Грея. При появлении ошибки в <tex>M</tex>-арном символе наиболее вероятными являются ближайшие соседние символы, отличающиеся от переданного лишь одним битом, если используется кодировка Грея. Таким образом, высока вероятность того, что при кодировании с помощью кода Грея в случае возникновения ошибки ошибочным будет только один из <tex>k = \log_2 M</tex> переданных битов.) * Коды Грея используются для кодирования номера дорожек в жёстких дисках. * Коды Грея широко применяются в теории генетических алгоритмов <ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC Википедия {{---}} Генетический алгоритм]</ref> для кодирования генетических признаков, представленных целыми числами. * Коды Грея используются в Картах Карно<ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D1%8B_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE Википедия {{---}} Карта Карно]</ref> (при передаче в карту переменные сортируются в код Грея). * Алгоритм модуляции 2B1Q (англ. ''2 Binary 1 Quandary'') <ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/2B1Q Wikipedia {{---}} 2B1Q]</ref> * Код Грея можно использовать также и для решения следующей задачи<ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B1%D0%B0%D1%88%D0%BD%D0%B8 Википедия {{---}} Ханойская Башня]</ref>: === Задача о Ханойских башнях === {{задача|definition =Даны три стержня, на один из которых нанизаны восемь колец, причем кольца отличаются размером и лежат меньшее на большем. Задача состоит в том, чтобы перенести пирамиду из восьми колец за наименьшее число ходов на другой стержень. За один раз разрешается переносить только одно кольцо, причём нельзя класть большее кольцо на меньшее.}}'''Решение:''' Пусть <tex>n</tex> — количество дисков. Начнём с кода Грея длины <tex>n</tex>, состоящего из одних нулей (т.е. <tex>G(0)</tex>), и будем двигаться по кодам Грея (от <tex>G(i)</tex> переходить к <tex>G(i+1)</tex>).
* в Картах Карно ( при передаче в карту переменные сортируются в Код Грея );[[:Коды_антигрея|Коды антигрея]]
== Источники информации ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code Wikipedia {{---}} Gray code]
* [http://enwww.wikipediajucs.org/wikijucs_13_11/Gray_code the_gray_code/jucs_13_11_1573_1597_doran.pdf Robert W. Doran The Gray codeCode, From WikipediaJournal of Universal Computer Science, the free encyclopediavol. 13, no. 11 (2007).]
