Изменения

{{Определение| widthdefinition ='''Элементарная транспозиция''' (англ. ''Adjacent transposition'') {{---}} перестановка местами двух соседних элементов.}} '''Коды Грея для перестановок''' (англ. ''Gray code for permutation'') {{---}} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.== Построение кода Грея для перестановок == Будем строить код Грея для длины <tex>n = k</tex>. Предположим, что нам известен [[Коды Грея | код Грея]] для перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex> Сначала запишем число <tex>k</tex> в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов). * <tex>\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}</tex> Получим <tex>k</tex> различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую перестановку из кода Грея для перестановок длины <tex>k - 1</tex> и припишем в конце число <tex>k</tex>. Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (последние элементы совпадают, а префиксы длины <tex>k - 1</tex> отличаются на элементарную транспозицию). Пусть она имеет следующий вид: <tex>\{b_1, b_2,b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex> Элемент <tex>k</tex> записываем в конец и начинаем "150двигать" alignего влево: * <tex>\{b_1, b_2, b_3, \dots, \underline{b_{k-1}, k}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \underline{\dots, k}, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, \underline{b_3, k}, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, \underline{b_2, k}, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{\underline{b_2, k}, b_1, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{k, b_1, b_2, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex> Продолжаем аналогично. Для каждой перестановки дописываем <tex>k</tex> в один конец (поочерёдно), и с помощью элементарных транспозиций двигаем в другой конец, при этом добавляя каждую промежуточную перестановку в список. Таким образом получаем для каждой перестановки длиной <tex>k - 1</tex> (всего <tex>(k - 1)!</tex> штук) по <tex>k</tex> новых перестановок, в сумме <tex>k\cdot(k - 1)! = k!</tex> перестановок. Все они различны, так как для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент <tex>k</tex> стоит на разных позициях,а если <tex>k</tex> стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции. Итого, мы получили список из <tex>k!</tex> различных перестановок длиной <tex>k</tex>, причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции. =="right" cellpaddingПримеры кодов Грея для перестановок =='''Перестановки для n = 2'''{| style="5background-color:#CCC;margin:0.5px" border!style="1background-color:#EEE" | Номер!style="borderbackground-collapsecolor: collapse;#EEE"| Перестановка

| <span style="fontbackground-sizecolor:smaller#FFF;padding:2px 30px"| <tex>код Грея для перестановки при n = 21</spantex> 1 2 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2 , 1\} </tex>

| style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2<span /tex>|style="fontbackground-sizecolor:smaller#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, 2\} </tex>код Грея |} '''Перестановки для перестановки при n = 3''' (подчёркнуты пары переставляемых элементов){| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка!style="background-color:#EEE"| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</spantex> |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{3, 2}, 1 2 3\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем первую перестановку и добавляем в начало тройку|- |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2 1 3</tex> |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2 , \underline{3 , 1}\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем до последней позиции |- |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>3 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{2 , 1}, 3\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| 3 |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>4</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1 , \underline{2, 3}\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем следующую перестановку и записываем тройку в конец |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>5</tex> |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{1 , 3 }, 2\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем в начало

| <span style="fontbackground-sizecolor:smaller#FFF;padding:2px 30px"| <tex>код Грея для перестановки при n = 46</spantex> 1 2 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{3 4 2 , 1 3 4 , 2 3 1 4 \} </tex> 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 1 4 3 1 2 4 1 3 2 4 1 3 4 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 2 1 4 3 2 1 4 3 1 2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 4 2 3 4 1 2 3 4 2 1 3 4 2 3 1 2 4 3 1 2 4 1 3 2 1 4 3 1 2 4 3 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|

'''Коды == Псевдокод получения кода Грея для перестановок''' - называют такое упорядочение перестановок, что соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.==

'''Элементарной транспозицией''' называют транспозиция двух соседних элементовПолучаем код Грея рекурсивно, то есть обмен местами двух соседних элементовв базовом случае <tex>n = 1</tex> возвращаем список из одной перестановки <tex>\{1\}</tex>.

'''list<list<int>>''' gray_code(n): '''if''' n == 1 '''return''' [{1}] <font color=darkgreen> //возращаем список из одной перестановки</font color= darkgreen> '''Построения Кода Грея для перестановокelse''' '''list<list<int>>''' result =[] <font color=darkgreen> //пустой список</font color=darkgreen>Чтобы построить код Грея для '''list<list<int>>''' perms = gray_code(n - 1) <font color=darkgreen> //perms {{---}} перестановки длиной из n будем использовать код Грея для перестановки длиной - 1 элемента</font color=darkgreen> '''bool''' backward = ''false'' <font color=darkgreen> //переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку</font color=darkgreen> '''for''' perm '''in''' perms <font color=darkgreen> //perm {{---}} текущая перестановка</font color=darkgreen> '''if''' backward '''list<int>''' current = concat(perm, {n})<font color=darkgreen> //дописываем {n} в конец perm</font color=darkgreen> result.append(current)<font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = n '''downto''' 2 swap(current[i - 1], current[i])<font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''else'''Для '''list<int>''' current = concat({n}, perm) <font color=darkgreen> //дописываем {n } в начало perm</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 год Грея выглядит так:'''to''' n - 1 swap(current[i], current[i + 1]) <font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> backward = '''not''' backward <font color=darkgreen> //меняем состояние backward</font color=darkgreen> '''return''' result <font color=darkgreen> //возвращаем ответ в виде списка</font color=darkgreen>

{1} --- n! различных перестановок отличных друг от друга == Реализация в одной транспозиции (очевидно)нерекурсивном виде. Алгоритм Джонсона-Троттера ==

=== Идея ===Сопоставим каждому элементу перестановки <tex>p[i]</tex> направление <tex>d[i]</tex>. Будем строить код Грея указывать направление при помощи стрелок '''←''' ("влево") или '''→'''("вправо"). Назовём элемент подвижным, если по направлению стрелки стоит элемент меньше его. Например, для перестановок длины n <tex> p = \{1, 3, 2, 4, 5\},\;d = k\{\leftarrow, \to, \leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>, подвижными являются элементы <tex>3</tex> и <tex>5</tex>. На каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент и менять местами с элементом, который стоит по направлению стрелки. После чего поменяем направление стрелок на противоположное у всех элементов больших текущего. ПредположимИзначально <tex> p = \{1, \dots , что нам известен код Грея для перестановок длиной n \},\;d = k - 1. Возьмем первую перестановку из нам известного кода\{\leftarrow, \dots ,\leftarrow\}</tex>. Пусть она выглядит так:

=== Пример работы алгоритма для n = 3 ===*<tex> p = \{1, 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{1, \textbf{3}, 2\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{3, 1, \textbf{2}\}\;\;\;d = \{a1\leftarrow, a2\leftarrow, a3\leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{\textbf{3}, ...2, ak-1\} \;\;\;d = \{\to,где ai при i \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, \textbf{3}, 1\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, 1, 3\}\;\;\;d = \{\leftarrow, ...\leftarrow, k --- элементы перестановки.\to\}</tex>

Элемент ak запишем === Псевдокод ===<code> <font color=darkgreen>//Элементы нумеруются начиная с 1 </font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''list<int>''' perm = {1, ... , n} '''list<char>''' dir = {←, ... , ←} '''list<list<int>>''' result '''while''' ''true'' result.append(perm); <font color=darkgreen> //добавляем в начало этой перестановки:ответ текущую перестановку</font color=darkgreen> '''int''' id = -1; <font color=darkgreen> //индекс наибольшего подвижного элемента </font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] - подвижный) '''and''' ((id == -1) '''or''' (perm[i] > perm[id])) id = i '''if''' (id == -1) '''break''' <font color=darkgreen> //не нашли подвижного элемента</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] > perm[id]) reverse(dir[i]) <font color=darkgreen> //меняем направление стрелки</font color=darkgreen> swap(id) <font color=darkgreen> //меняем элемент perm[id], dir[id] c элементом по направлению стелки</font color=darkgreen> '''return''' result </code>

{ak=== Доказательство корректности ===Очевидно, a1что требование о том, a2, a3что каждая генерируемая перестановка отличается от предыдущей транспозицией двух соседних элементов выполнено исходя из самого алгоритма. Осталось доказать, что таким образом мы сгенерируем все перестановки..., ak - 1}

Будем "двигать" этот использовать обозначения:*<tex>\overset{\text {$\to$}}{a}</tex> {{---}} элемент ak влево, меняя его с соседним:заданным направлением(компонента).*<tex>P[i]</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex>.*<tex>P[i]\backslash\{a\}\;</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex> без элемента <tex>a</tex>.

{ak{Утверждение|id=approval1|statement=Число <tex>n</tex> в перестановке не является подвижным элементом тогда и только тогда, a1, a2, a3, ..., ak - 1когда первая компонента перестановки есть <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}} (1){a1, ak, a2, a3, ..., ak - 1n} (2)</tex> или последняя компонента есть <tex>\overset{\text {a1, a2, ak, a3, ..., ak - 1$\to$}}{a1, a2, a3, ak, ..., ak - 1n}.........................</tex>.{a1, a2, a3, ..., ak, ak - 1}{a1, a2, a3, ..., ak - 1, ak} (3)

Элемент ak записываем {{Лемма|id=lemma1 |statement=Если в конец и начинаем "двигать" влевоперестановке <tex>P[i]</tex> есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, меняя то также определены перестановки <tex>P[i + 1] ... P[i + n]</tex>. Причём, <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.|proof=Заметим, что если в перестановке есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то после транспозиции его с правостоящим:соседним элементом(по направлению стрелки), нам нужно будет заменить направление стрелок у всех элементов больше <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента из перестановки, то направление стрелки у него тоже изменится. По нашему утверждению, либо в новой перестановке окажется компонента <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex> на первой позиции, либо компонента <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> на последней позиции. В обоих случаях <tex>n</tex> окажется подвижным элементом в следующих <tex>n</tex> перестановках. Так как в следующих <tex>n</tex> перестановках подвижным элементом будет только <tex>n</tex>, то <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.}}

Теперь докажем основную лемму.{{a2, a1, a3Лемма|id=lemma2|statement=Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из <tex>n</tex> элементов, причём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов.|proof=Доказывать будем по индукции.Для <tex>n = 1\; - </tex> очевидно.Предположим, ak что для <tex>n - 1</tex> алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, ak} что алгоритм будет корректно строить перестановки и для <tex>n</tex> элементов. Разобьём все <tex>n!</tex> перестановок на блоки по <tex>n</tex> (4подряд). В силу вышедоказанной леммы в каждом блоке <tex>P[i]\backslash\{a2, a1, a3, ..., ak, ak - n\} = P[i + 1]\backslash\{n\}......................= ....= P[i + n]\backslash\{a2, a1, a3, akn\}</tex>, если <tex>i\; - </tex> начало группы...Значит, ak в каждой группе какая-то перестановка из <tex>n - 1}{a2</tex> элемента дополняется до перестановки из <tex>n</tex> всеми возможными способами. Теперь докажем, a1что на переход между блоками элемент <tex>n</tex> никак не влияет. Заметим, akчто при переходе между блоками <tex>n</tex> является неподвижным элементом. В силу нашего утверждения <tex>n</tex> стоит либо на первой, a3либо на последней позиции. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента, то никакой подвижный элемент не может указывать на <tex>n</tex>.В силу этих фактов <tex>n</tex> никак не повлияет на переход между блоками.., ak - 1}{a2, ak, a1, a3Из этого можно сделать вывод, ...что при переходе между блоками перестановки строятся так же, ak как и перестановки из <tex>n - 1}{ak, a2, a1, a3</tex> элемента, а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из <tex>n</tex> элементов всеми возможными способами.Корректность алгоритма доказана.., ak - 1 }}

Опять получили k различных перестановок===Асимптотика===Поговорим об асиптотике. Снова разобьём наши перестановки на блоки по <tex>n</tex> элементов. Немного модифицируем алгоритм. Заметим, отличающихся что в одной транспозициикаждом блоке нам нужно искать максимальный элемент только один раз. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной В остальных случаях этим элементом будет <tex>n = k - 1</tex>. Следовательно, записываем менять направление стрелок нужно тоже только один раз(в ее начало остальных случаях менять направления не нужно, так как <tex>n</tex> - подвижный элемент ak и двигаем его вправо, как для первой перестановки и та менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов). Следовательно, блок выполняется за <tex>O(n) + O(n) + O(n) = O(n)</tex>. Всего блоков <tex> -\:(n - 1)!</tex>.дОбщая асимптотика <tex>O(n) \cdot (n - 1)! = O(n!)</tex>.

Для каждой перестановки длиной n = k ==Сравнение с рекурсивным алгоритмом===Главным приемуществом алгоритма Джонсона- 1 Троттера является то, что нам не нужно хранить все предыдущие перестановки (всего их (k - 1)!) мы получили k новых перестановок. Итого k•(k из <tex>n - 1</tex> элемента)! = k! перестановок. Все они различны, та только текущую.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея ak стоит на разных позицияхСледовательно,а если ak стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной n = k - 1. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции этот алгоритм потребляет только <tex>O(образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок --- имеют ak на одной и той же позиции, но отличаются в одной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной n = k - 1)</tex> памяти. Таким образом мы получили k! различных перестановок длиной kТакже, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной n получениз-за нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее.

== '''=Интересный факт===Существует более общая формулировке задачи {{---}} для двух соседних перестановок должно выполняться, что позиции одинаковых чисел в них отличаются не более, чем на единицу.Для этой формулировки верно, что для любой перестановки <tex>u</tex> число различных перестановок <tex>v</tex>, которые могут стоять после <tex>u</tex>, равно <tex>n + 1</tex> числу Фибоначчи. Этот факт был открыт студентом нашего университета. == Сведение задачи построение построения кода Грея для перестановок к графам''' == Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов | граф]], вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, соединены ребром, если <tex>g</tex> образуется из <tex>f</tex> однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

* [[NP-полнота_задач_о_гамильтоновом_цикле_и_пути_в_графах | Гамильтонов путь]] == Литература Источники информации ==* Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург , 2003 . - стр. 39-41- ISBN 5-94157-330-8* Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9* Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Комбинаторика ]]