1632
правки
Изменения
м
'''Будем строить код Грея для длины <tex>n = k</tex>. Предположим, что нам известен [[Коды Грея | код Грея]] для перестановок''' длиной <tex>k - называют такое упорядочение перестановок1</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, что соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.a_{k-1}\}</tex>
'''Элементарной транспозицией''' называют транспозиция двух соседних элементовСначала запишем число <tex>k</tex> в начало этой перестановки, то есть обмен местами двух соседних после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов).
== '''Построения Кода Грея для перестановок''' ==* <tex>\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}</tex>Чтобы построить код Грея для перестановки длиной n будем использовать код Грея для перестановки длиной n * <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k- 1.}}\}</tex>Для n = * <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1 год Грея выглядит так:}, k\}</tex>
Будем строить код Грея для перестановок длины n = * <tex>\{b_1, b_2, b_3, \dots, \underline{b_{k. Предположим-1}, k}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \underline{\dots, k}, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, \underline{b_3, k}, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, \underline{b_2, k}, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{\underline{b_2, k}, b_1, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{k, b_1, b_2, b_3, \dots, что нам известен код Грея для перестановок длиной n = b_{k - 1. Возьмем первую перестановку из нам известного кода. Пусть она выглядит так:}\}</tex>
{a1Таким образом получаем для каждой перестановки длиной <tex>k - 1</tex> (всего <tex>(k - 1)!</tex> штук) по <tex>k</tex> новых перестановок, a2, a3, ..., akв сумме <tex>k\cdot(k -1} ,где ai при i )! = 1k!</tex> перестановок. Все они различны, 2так как для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент <tex>k</tex> стоит на разных позициях, 3а если <tex>k</tex> стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной <tex>k - 1</tex>.Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции..Итого, мы получили список из <tex>k!</tex> различных перестановок длиной <tex>k --- элементы перестановки</tex>, причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции.
Элемент ak запишем '''Перестановки для n = 3''' (подчёркнуты пары переставляемых элементов){| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка!style="background-color:#EEE"| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{3, 2}, 1\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем первую перестановку и добавляем в начало этой перестановкитройку|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, \underline{3, 1}\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем до последней позиции |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>3</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{2, 1}, 3\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>4</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, \underline{2, 3}\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем следующую перестановку и записываем тройку в конец |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>5</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{1, 3}, 2\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем в начало|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>6</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{3, 1, 2\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |}
Будем "двигать" этот элемент ak влево, меняя его с соседним:== Реализация в нерекурсивном виде. Алгоритм Джонсона-Троттера ==
{a1=== Доказательство корректности ===Очевидно, a2что требование о том, ak, a3что каждая генерируемая перестановка отличается от предыдущей транспозицией двух соседних элементов выполнено исходя из самого алгоритма. Осталось доказать, что таким образом мы сгенерируем все перестановки..., ak - 1}
{a1, a2, a3, ..., ak, ak - 1}
{a1, a2, a3, ..., ak - 1, ak} (3)
Получим k различных перестановокТеперь докажем основную лемму.{{Лемма|id=lemma2|statement=Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из <tex>n</tex> элементов, отличающихся в одной транспозициипричём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов.|proof=Доказывать будем по индукции. Для <tex>n = 1\; - </tex> очевидно. Возьмем следующую строку из кода Грея Предположим, что для перестановок длиной <tex>n = k - 1</tex> алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, которая что алгоритм будет выглядеть так корректно строить перестановки и для <tex>n</tex> элементов. Разобьём все <tex>n!</tex> перестановок на блоки по <tex>n</tex> (тподряд). В силу вышедоказанной леммы в каждом блоке <tex>P[i]\backslash\{n\} = P[i + 1]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>, если <tex>i\; - </tex> начало группы. Значит, в каждой группе какая-то перестановка из <tex>n - 1</tex> элемента дополняется до перестановки из <tex>n</tex> всеми возможными способами.кТеперь докажем, что на переход между блоками элемент <tex>n</tex> никак не влияет. мы получилиЗаметим, что при переходе между блоками <tex>n</tex> является неподвижным элементом. В силу нашего утверждения <tex>n</tex> стоит либо на первой, либо на последней позиции. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента, то никакой подвижный элемент стоящий не может указывать на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо см<tex>n</tex>. В силу этих фактов <tex>n</tex> никак не повлияет на переход между блоками. (1)Из этого можно сделать вывод, (2)что при переходе между блоками перестановки строятся так же, то как и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):перестановки из <tex>n - 1</tex> элемента, а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из <tex>n</tex> элементов всеми возможными способами.Корректность алгоритма доказана. }}
{a2===Сравнение с рекурсивным алгоритмом===Главным приемуществом алгоритма Джонсона-Троттера является то, a1что нам не нужно хранить все предыдущие перестановки (из <tex>n - 1</tex> элемента), a3а только текущую. Следовательно, этот алгоритм потребляет только <tex>O(n)</tex> памяти...Также, ak из- 1}за нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее.
Элемент ak записываем в конец и начинаем "двигать" влево, меняя его с правостоящим:== Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам ==
{a2, a1, a3, == См..., ak - 1, ak} (4) {a2, a1, a3, ..., ak, ak - 1} .......................... {a2, a1, a3, ak, ..., ak - 1}также ==* [[Комбинаторные объекты]]{a2, a1, ak, a3, ..., ak * [[NP- 1} {a2, ak, a1, a3, ..., ak - 1} {ak, a2, a1, a3, ..., ak - 1} Опять получили k различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной n = k - 1, записываем в ее начало элемент ak и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.полнота_задач_о_гамильтоновом_цикле_и_пути_в_графах | Гамильтонов путь]]
Для каждой перестановки длиной n = k - 1 (всего их (k - 1)!) мы получили k новых перестановок. Итого k•(k - 1)! = k! перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея ak стоит на разных позициях,а если ak стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной n = k - 1. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок --- имеют ak на одной и той же позиции, но отличаются в одной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной n = k - 1). Таким образом мы получили k! различных перестановок длиной k, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной n получен. == '''Сведение задачи построение кода Грея для перестановок к графам''' ==Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть граф, вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, соединены ребром, если <tex>g</tex> образуется из <tex>f</tex> однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе. == См. также ==* [[Коды ГреяКатегория: Комбинаторика ]]* [[Комбинаторные объекты]]* [[Гамильтонов путь]]== Литература ==Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург 2003 стр. 39-41
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение| width="150" aligndefinition ="right" cellpadding="5" border="1" style="border-collapse: collapse;"|'''Элементарная транспозиция''' (англ. ''Adjacent transposition'') {{-| <span style="font-size:smaller;">код Грея для перестановки при n = 2</span> 1 2 2 1|-| <span style="font-size:smaller;">код Грея для перестановки при n = 3</span>}} перестановка местами двух соседних элементов. 1 2 3}} 2 1 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2|-| <span style="font-size:smaller;">код '''Коды Грея для перестановки при n = 4</span> 1 2 3 4 2 1 3 4 2 3 1 4 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 1 4 3 1 2 4 1 3 2 4 1 3 4 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 2 1 4 3 2 1 4 3 1 2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 4 2 3 4 1 2 3 4 2 1 3 4 2 3 1 2 4 3 1 2 4 1 3 2 1 4 3 1 2 4 3 |}== перестановок'''(англ. 'Определение'Gray code for permutation'' ) {{---}} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.== Построение кода Грея для перестановок ==
Получим <tex>k</tex> различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую перестановку из кода Грея для перестановок длины <tex>k - 1</tex> и припишем в конце число <tex>k</tex>. Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (последние элементы совпадают, а префиксы длины <tex>k - 1</tex> отличаются на элементарную транспозицию). Пусть она имеет следующий вид:
<tex>\{b_1, b_2,b_3, \dots, b_{k-1} --- n! различных перестановок отличных друг от друга в одной транспозиции (очевидно). \}</tex>
Элемент <tex>k</tex> записываем в конец и начинаем "двигать" его влево:
Продолжаем аналогично. Для каждой перестановки дописываем <tex>k</tex> в один конец (поочерёдно), и с помощью элементарных транспозиций двигаем в другой конец, при этом добавляя каждую промежуточную перестановку в список.
== Примеры кодов Грея для перестановок ==
'''Перестановки для n = 2'''
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE"| Номер
!style="background-color:#EEE"| Перестановка
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, 1\} </tex>
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, 2\} </tex>
|}
== Псевдокод получения кода Грея ==
Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае <tex>n = 1</tex> возвращаем список из одной перестановки <tex>\{ak, a1, a2, a3, ..., ak - 1\}</tex>.
'''list<list<int>>''' gray_code(n):
'''if''' n == 1
'''return''' [{1}] <font color=darkgreen> //возращаем список из одной перестановки</font color=darkgreen>
'''else'''
'''list<list<int>>''' result = [] <font color=darkgreen> //пустой список</font color=darkgreen>
'''list<list<int>>''' perms = gray_code(n - 1) <font color=darkgreen> //perms {{---}} перестановки из n - 1 элемента</font color=darkgreen>
'''bool''' backward = ''false'' <font color=darkgreen> //переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку</font color=darkgreen>
'''for''' perm '''in''' perms <font color=darkgreen> //perm {{---}} текущая перестановка</font color=darkgreen>
'''if''' backward
'''list<int>''' current = concat(perm, {n})<font color=darkgreen> //дописываем {n} в конец perm</font color=darkgreen>
result.append(current)<font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen>
'''for''' i = n '''downto''' 2
swap(current[i - 1], current[i])<font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen>
result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen>
'''else'''
'''list<int>''' current = concat({n}, perm) <font color=darkgreen> //дописываем {n} в начало perm</font color=darkgreen>
result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen>
'''for''' i = 1 '''to''' n - 1
swap(current[i], current[i + 1]) <font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen>
result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen>
backward = '''not''' backward <font color=darkgreen> //меняем состояние backward</font color=darkgreen>
'''return''' result <font color=darkgreen> //возвращаем ответ в виде списка</font color=darkgreen>
=== Идея ===
Сопоставим каждому элементу перестановки <tex>p[i]</tex> направление <tex>d[i]</tex>. Будем указывать направление при помощи стрелок '''←''' ("влево") или '''→'''("вправо"). Назовём элемент подвижным, если по направлению стрелки стоит элемент меньше его. Например, для <tex> p = \{1, 3, 2, 4, 5\},\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>, подвижными являются элементы <tex>3</tex> и <tex>5</tex>. На каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент и менять местами с элементом, который стоит по направлению стрелки. После чего поменяем направление стрелок на противоположное у всех элементов больших текущего. Изначально <tex> p = \{1, \dots ,n\},\;d = \{\leftarrow, \dots ,\leftarrow\}</tex>.
=== Пример работы алгоритма для n = 3 ===*<tex> p = \{ak1, 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, a1\leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{1, \textbf{3}, a22\}\;\;\;d = \{\leftarrow, a3\leftarrow, ...\leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{3, ak - 1, \textbf{2}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\} (</tex>*<tex> p = \{\textbf{3}, 2, 1\}\;\;\;d = \{\to, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, \textbf{3}, 1)\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, 1, 3\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \to\}</tex>
=== Псевдокод ===<code> <font color=darkgreen>//Элементы нумеруются начиная с 1 </font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''list<int>''' perm = {a11, ak... , a2, a3n} '''list<char>''' dir = {←, ..., ak ←} '''list<list<int>>''' result '''while''' ''true'' result.append(perm); <font color=darkgreen> //добавляем в ответ текущую перестановку</font color=darkgreen> '''int''' id = - 1} ; <font color=darkgreen> //индекс наибольшего подвижного элемента </font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] - подвижный) '''and''' ((id == -1) '''or''' (perm[i] > perm[id])) id = i '''if''' (id == -1) '''break''' <font color=darkgreen> //не нашли подвижного элемента</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] > perm[id]) reverse(dir[i]) <font color=darkgreen> //меняем направление стрелки</font color=darkgreen> swap(2id)<font color=darkgreen> //меняем элемент perm[id], dir[id] c элементом по направлению стелки</font color=darkgreen> '''return''' result </code>
Будем использовать обозначения:*<tex>\overset{a1, a2, a3, ak, \text {$\to$}}{a}</tex> {{---}} элемент с заданным направлением(компонента).*<tex>P[i]</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex>.., ak *<tex>P[i]\backslash\{a\}\;</tex> {{--- 1}} перестановка с номером <tex>i</tex> без элемента <tex>a</tex>.
{{Утверждение|id=approval1|statement=Число <tex>n</tex> в перестановке не является подвижным элементом тогда и только тогда, когда первая компонента перестановки есть <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> или последняя компонента есть <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex>..........................}}
{{Лемма
|id=lemma1
|statement=Если в перестановке <tex>P[i]</tex> есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то также определены перестановки <tex>P[i + 1] ... P[i + n]</tex>. Причём, <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.
|proof=Заметим, что если в перестановке есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то после транспозиции его с соседним элементом(по направлению стрелки), нам нужно будет заменить направление стрелок у всех элементов больше <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента из перестановки, то направление стрелки у него тоже изменится. По нашему утверждению, либо в новой перестановке окажется компонента <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex> на первой позиции, либо компонента <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> на последней позиции. В обоих случаях <tex>n</tex> окажется подвижным элементом в следующих <tex>n</tex> перестановках. Так как в следующих <tex>n</tex> перестановках подвижным элементом будет только <tex>n</tex>, то <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.
}}
===Асимптотика===
Поговорим об асиптотике. Снова разобьём наши перестановки на блоки по <tex>n</tex> элементов. Немного модифицируем алгоритм. Заметим, что в каждом блоке нам нужно искать максимальный элемент только один раз. В остальных случаях этим элементом будет <tex>n</tex>. Следовательно, менять направление стрелок нужно тоже только один раз(в остальных случаях менять направления не нужно, так как <tex>n</tex> - подвижный элемент, а менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов). Следовательно, блок выполняется за <tex>O(n) + O(n) + O(n) = O(n)</tex>. Всего блоков <tex> -\:(n - 1)!</tex>. Общая асимптотика <tex>O(n) \cdot (n - 1)! = O(n!)</tex>.
===Интересный факт===
Существует более общая формулировке задачи {{---}} для двух соседних перестановок должно выполняться, что позиции одинаковых чисел в них отличаются не более, чем на единицу.
Для этой формулировки верно, что для любой перестановки <tex>u</tex> число различных перестановок <tex>v</tex>, которые могут стоять после <tex>u</tex>, равно <tex>n + 1</tex> числу Фибоначчи.
Этот факт был открыт студентом нашего университета.
Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов | граф]], вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, соединены ребром, если <tex>g</tex> образуется из <tex>f</tex> однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.
== Источники информации ==
* Романовский И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург, 2003. - стр. 39-41 - ISBN 5-94157-330-8
* Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9
* Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
