Изменения

|definition='''Коды Грея для перестановокЭлементарная транспозиция''' {{---}} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией(англ.<br> '''Элементарная транспозиция'Adjacent transposition'' ) {{---}} транспозиция перестановка местами двух соседних элементов. Далее будем называть элементарную транспозицию просто транспозицией.}} == Примеры кодов '''Коды Грея для перестановок ==  $n=2:$ $n=3:$ $\''' (англ. ''Gray code for permutation'') {1, 2\}$ $\{1, 2, 3\---}$ $\{2, 1\}$ $\{1упорядочение перестановок, 3, 2\}$ $\{3, 1, 2\}$ $\{3, 2, 1\}$ $\{2, 3, 1\}$ $\{2, 1, 3\}$при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.

Чтобы построить Будем строить код Грея для перестановки длиной $длины <tex>n$= k</tex>. Предположим, будем использовать что нам известен [[Коды Грея | код Грея ]] для перестановки перестановок длиной $n <tex>k - 1$</tex>.Для $n = Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1$ код Грея выглядит так:}\}</tex>

$\{ 1 \}$ {{---}} $n!$ различных перестановокСначала запишем число <tex>k</tex> в начало этой перестановки, отличных друг от друга в одной транспозиции после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (очевидноподчёркнуты пары переставляемых элементов).

Будем строить код Грея для перестановок длины $n = * <tex>\{\underline{k$. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной $n = a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Пусть она выглядит так:}\}</tex>* <tex>\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}</tex>

$\{a_{1}Получим <tex>k</tex> различных перестановок, a_{2}, a_{3}, ..отличающихся одной элементарной транспозицией., a_{Возьмем следующую перестановку из кода Грея для перестановок длины <tex>k-1}\}$ ,где $a_{i}$ при $i = 1, 2, 3, ..</tex> и припишем в конце число <tex>k</tex>.Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (последние элементы совпадают, а префиксы длины <tex>k$ {{---}} элементы перестановки1</tex> отличаются на элементарную транспозицию).Пусть она имеет следующий вид:

Элемент $a_<tex>\{b_1, b_2,b_3, \dots, b_{k-1}\}$ запишем в начало этой перестановки:</tex>

$\{a_{Элемент <tex>k}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$</tex> записываем в конец и начинаем "двигать" его влево:

Будем "двигать" этот элемент $a_* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \dots, \underline{b_{k-1}, k}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \underline{\dots, k}, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, \underline{b_3, k}, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, \underline{b_2, k}, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{\underline{b_2, k}$ влево, меняя его с соседним:b_1, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{k, b_1, b_2, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>

$\{a_{Продолжаем аналогично. Для каждой перестановки дописываем <tex>k}, a_{1}</tex> в один конец (поочерёдно), a_{2}, a_{3}и с помощью элементарных транспозиций двигаем в другой конец, при этом добавляя каждую промежуточную перестановку в список..., a_{k - 1}\}$ (1)

$Таким образом получаем для каждой перестановки длиной <tex>k - 1</tex> (всего <tex>(k - 1)!</tex> штук) по <tex>k</tex> новых перестановок, в сумме <tex>k\{a_{cdot(k - 1})! = k!</tex> перестановок. Все они различны, a_{так как для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент <tex>k}</tex> стоит на разных позициях, a_{2}а если <tex>k</tex> стоит на одной и той же позиции, a_{3}, .то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной <tex>k - 1</tex>.Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции.Итого, a_{мы получили список из <tex>k!</tex> различных перестановок длиной <tex>k - 1}\}$ (2)</tex>, причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции.

$\{a_== Примеры кодов Грея для перестановок =='''Перестановки для n = 2'''{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1}, a_</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2}, a_{k}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$</tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>$|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{a_{1}, a_{2\}, a_{3}, a_{k}, ..., a_{k - 1}\</tex>|}$

$'''Перестановки для n = 3''' (подчёркнуты пары переставляемых элементов){| style="background-color:#CCC;margin:0..........................$5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка!style="background-color:#EEE"| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{3, 2}, 1\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем первую перестановку и добавляем в начало тройку|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, \underline{3, 1}\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем до последней позиции |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>3</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{2, 1}, 3\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>4</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, \underline{2, 3}\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем следующую перестановку и записываем тройку в конец |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>5</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{1, 3}, 2\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем в начало|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>6</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{3, 1, 2\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |}

$Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае <tex>n = 1</tex> возвращаем список из одной перестановки <tex>\{a_{1\}, a_{2}, a_{3}, .</tex>.., a_{k - 1}, a_{k}\}$ (3)

Получим $k$ различных перестановок, отличающихся в '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''if''' n == 1 '''return''' [{1}] <font color=darkgreen> //возращаем список из одной транспозиции. Возьмем следующую строку перестановки</font color=darkgreen> '''else''' '''list<list<int>>''' result = [] <font color=darkgreen> //пустой список</font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' perms = gray_code(n - 1) <font color=darkgreen> //perms {{---}} перестановки из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, элемента</font color=darkgreen> '''bool''' backward = ''false'' <font color=darkgreen> //переменная которая будет выглядеть так говорит с какой стороны заполнять перестановку</font color=darkgreen> '''for''' perm '''in''' perms <font color=darkgreen> //perm {{---}} текущая перестановка</font color=darkgreen> '''if''' backward '''list<int>''' current = concat(т.к. мы получилиperm, что элемент стоящий на первом месте {n})<font color=darkgreen> //дописываем {n} в перестановке будет "двигаться" вправо смконец perm</font color=darkgreen> result. append(current)<font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = n '''downto''' 2 swap(current[i - 1], current[i])<font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''else''' '''list<int>''' current = concat({n}, perm) <font color=darkgreen> //дописываем {n} в начало perm</font color=darkgreen> result.append(2current)<font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n - 1 swap(current[i], то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторымcurrent[i + 1]):<font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> backward = '''not''' backward <font color=darkgreen> //меняем состояние backward</font color=darkgreen> '''return''' result <font color=darkgreen> //возвращаем ответ в виде списка</font color=darkgreen>

$\{a_{2}, a_{1}, a_{3}, == Реализация в нерекурсивном виде..., a_{k Алгоритм Джонсона- 1}\}$Троттера ==

Элемент $a_{k}$ записываем в конец и начинаем === Идея ===Сопоставим каждому элементу перестановки <tex>p[i]</tex> направление <tex>d[i]</tex>. Будем указывать направление при помощи стрелок '''←''' ("влево") или '''→'''("двигатьвправо" влево). Назовём элемент подвижным, меняя если по направлению стрелки стоит элемент меньше его . Например, для <tex> p = \{1, 3, 2, 4, 5\},\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>, подвижными являются элементы <tex>3</tex> и <tex>5</tex>. На каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент и менять местами с правостоящим:элементом, который стоит по направлению стрелки. После чего поменяем направление стрелок на противоположное у всех элементов больших текущего. Изначально <tex> p = \{1, \dots ,n\},\;d = \{\leftarrow, \dots ,\leftarrow\}</tex>.

$=== Пример работы алгоритма для n = 3 ===*<tex> p = \{1, 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{a_\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{1, \textbf{3}, 2\}\;\;\;d = \{\leftarrow, a_\leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{3, 1, \textbf{2}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, a_\leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{\textbf{3}, ...2, 1\}\;\;\;d = \{\to, \leftarrow, a_\leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{k - 2, \textbf{3}, 1\}\;\;\;d = \{\leftarrow, a_\to, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{k2, 1, 3\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \to\}$ (4)</tex>

$\=== Псевдокод ===<code> <font color=darkgreen>//Элементы нумеруются начиная с 1 </font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''list<int>''' perm = {a_{2}1, ... , a_{1n}, a_ '''list<char>''' dir = {3}←, ..., a_{k←}, a_{k '''list<list<int>>''' result '''while''' ''true'' result.append(perm); <font color=darkgreen> //добавляем в ответ текущую перестановку</font color=darkgreen> '''int''' id = -1; <font color=darkgreen> //индекс наибольшего подвижного элемента </font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] - подвижный) '''and''' ((id == -1) '''or''' (perm[i] > perm[id])) id = i '''if''' (id == - 1}\}$) '''break''' <font color=darkgreen> //не нашли подвижного элемента</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] > perm[id]) reverse(dir[i]) <font color=darkgreen> //меняем направление стрелки</font color=darkgreen> swap(id) <font color=darkgreen> //меняем элемент perm[id], dir[id] c элементом по направлению стелки</font color=darkgreen> '''return''' result </code>

$=== Доказательство корректности ===Очевидно, что требование о том, что каждая генерируемая перестановка отличается от предыдущей транспозицией двух соседних элементов выполнено исходя из самого алгоритма.Осталось доказать, что таким образом мы сгенерируем все перестановки.........................$

$Будем использовать обозначения:*<tex>\overset{a_\text {2$\to$}}, a_{1a}, a_</tex> {{3---}}, a_элемент с заданным направлением(компонента).*<tex>P[i]</tex> {{k---}, } перестановка с номером <tex>i</tex>..., a_*<tex>P[i]\backslash\{a\}\;</tex> {{k - 1--}\}$перестановка с номером <tex>i</tex> без элемента <tex>a</tex>.

${{Утверждение|id=approval1|statement=Число <tex>n</tex> в перестановке не является подвижным элементом тогда и только тогда, когда первая компонента перестановки есть <tex>\overset{a_\text {2$\leftarrow$}}, a_{1n}, a_</tex> или последняя компонента есть <tex>\overset{\text {k$\to$}}, a_{3n}, </tex>..., a_{k - 1}\}$

Опять получили $k$ различных перестановок{{Лемма|id=lemma1 |statement=Если в перестановке <tex>P[i]</tex> есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то также определены перестановки <tex>P[i + 1] ... P[i + n]</tex>. Причём, <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.|proof=Заметим, отличающихся что если в одной перестановке есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то после транспозицииего с соседним элементом(по направлению стрелки), нам нужно будет заменить направление стрелок у всех элементов больше <tex>a</tex>. Далее берем третью строку Так как <tex>n</tex> больше любого элемента из кода Грея для перестановок длиной перестановки, то направление стрелки у него тоже изменится. По нашему утверждению, либо в новой перестановке окажется компонента <tex>\overset{\text {$\to$}}{n = k - 1}</tex> на первой позиции, либо компонента <tex>\overset{\text {$, записываем в ее начало элемент \leftarrow$a_}}{kn}$ и двигаем его вправо</tex> на последней позиции. В обоих случаях <tex>n</tex> окажется подвижным элементом в следующих <tex>n</tex> перестановках. Так как в следующих <tex>n</tex> перестановках подвижным элементом будет только <tex>n</tex>, как для первой перестановки и тто <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ...д= P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.}}

Теперь докажем основную лемму.{{Лемма|id=lemma2|statement=Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из <tex>n</tex> элементов, причём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов.|proof=Доказывать будем по индукции. Для каждой перестановки длиной $<tex>n = k 1\; - 1$ (всего их $(k </tex> очевидно. Предположим, что для <tex>n - 1)</tex> алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, что алгоритм будет корректно строить перестановки и для <tex>n</tex> элементов. Разобьём все <tex>n!$</tex> перестановок на блоки по <tex>n</tex> (подряд) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $kВ силу вышедоказанной леммы в каждом блоке <tex>P[i]\backslash\{n\cdot(k - } = P[i + 1)! ]\backslash\{n\} = k!$ перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $a_= P[i + n]\backslash\{kn\}$ стоит на разных позициях</tex>,а если $a_{k}$ стоит на одной и той же позиции<tex>i\; - </tex> начало группы. Значит, в каждой группе какая-то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $перестановка из <tex>n = k - 1$ (см</tex> элемента дополняется до перестановки из <tex>n</tex> всеми возможными способами. Теперь докажем, что на переход между блоками элемент <tex>n</tex> никак не влияет. (3)Заметим, (4))что при переходе между блоками <tex>n</tex> является неподвижным элементом. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построениюВ силу нашего утверждения <tex>n</tex> стоит либо на первой, от разных перестановок {{---}} имеют $a_{k}$ либо на одной и той же последней позиции. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента, но отличаются в одной транспозиции, тто никакой подвижный элемент не может указывать на <tex>n</tex>.кВ силу этих фактов <tex>n</tex> никак не повлияет на переход между блоками. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $Из этого можно сделать вывод, что при переходе между блоками перестановки строятся так же, как и перестановки из <tex>n = k - 1$</tex> элемента, см (3), (4))а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из <tex>n</tex> элементов всеми возможными способами. Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ полученКорректность алгоритма доказана. }}

== Псевдокод получения следующего кода Грея для перестановок =Асимптотика===Поговорим об асиптотике. Снова разобьём наши перестановки на блоки по предыдущему <tex>n</tex> элементов. Немного модифицируем алгоритм. Заметим, что в каждом блоке нам нужно искать максимальный элемент только один раз. В остальных случаях этим элементом будет <tex>n</tex>. Следовательно, менять направление стрелок нужно тоже только один раз(в остальных случаях менять направления не нужно, так как <tex>n</tex> - подвижный элемент, а менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов). Следовательно, блок выполняется за <tex>O(n) + O(n) + O(n) =O(n)</tex>. Всего блоков <tex> -\:(n - 1)!</tex>. Общая асимптотика <tex>O(n) \cdot (n - 1)! =O(n!)</tex>.

Пусть ===Сравнение с рекурсивным алгоритмом===Главным приемуществом алгоритма Джонсона-Троттера является то, что нам известен код Грея для перестановок длиной $не нужно хранить все предыдущие перестановки (из <tex>n$- 1</tex> элемента), записанный в массив pred_perest, состоящий из строка только текущую. Следовательно, в которые записаны перестановки, и новый элемент new_elem. При этом pred_perest[i]этот алгоритм потребляет только <tex>O(1n) будет обозначать</tex> памяти. Также, что в iиз-той перестановке выделен первый элементза нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее. Тогда:

'''===Интересный факт===Существует более общая формулировке задачи {{---}} для двух соседних перестановок должно выполняться, что позиции одинаковых чисел в них отличаются не более, чем на единицу.Для этой формулировки верно, что для любой перестановки <tex>u</tex> число различных перестановок <tex>v</tex>, которые могут стоять после <tex>u</tex>, равно <tex>n + 1</ Алгоритм в процессе доработки!!!'''tex> числу Фибоначчи. Этот факт был открыт студентом нашего университета.

Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов | граф]], вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам $<tex>f$ </tex> и $<tex>g$</tex>, соединены ребром, если $<tex>g$ </tex> образуется из $<tex>f$ </tex> однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

* [[NP-полнота_задач_о_гамильтоновом_цикле_и_пути_в_графах | Гамильтонов путь]] == Литература Источники информации ==* Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург , 2003 . - стр. 39-41- ISBN 5-94157-330-8* Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9* Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Комбинаторика ]]